原因

一个原因的向量空间是空间中可以作为坐标的向量集合。这样一个集合必须满足两个条件才能被认为是一个基

• 设置必须跨度向量空间;
• 集合必须是线性无关的．

满足这两个条件的集合具有这样的特性：每个向量可以精确地以一种方式（直到重新排序）表示为基元素的倍数的有限和。基本元素的“倍数”可被视为坐标关于那个基向量的。

base (basis的复数形式)用来翻译…的语言线性代数译成矩阵．他们单独负责联系线性变换还有矩阵，线性变换的一般解释。基的性质为向量空间和线性变换的各种重要性质提供了框架，比如维和排名．

所谓的基本向量演示坐标和基之间的联系。例如，在四维欧几里德空间中 $\大($向量空间 $R \ mathbb{} ^ 4 \大),$向量 $(1 \ 0 \ 0 \, 0), \(0 \ 1 \ 0 \, 0), \(\ \ 0, 0, 1, \, 0),{和}\ \ \文本(\ \ 0,0,0,\,1)$打基础 $\mathbb{R}^4$．的任何元素只有一种写法 $\mathbb{R}^4$作为这四个元素的实倍数的和;例如, $\ \大(7日,——大概{2}\ \ \π\,0 \大)= 7 \ cdot (1 \ 0 \ 0 \, 0) - \ sqrt {2} \ cdot(0 \ 1 \ 0 \, 0) + \π\ cdot (\ \ 0, 0, 1, \, 0) + 0 \ cdot(\ \ 0, 0, 0, \, 1)。$

集的跨度 $年代$向量集合旨在描述所有可能的向量集合，这些向量集合可以通过对中的向量执行通常的向量空间操作来达到 $年代$．这个张成的空间本身就是一个向量空间。

一套 $S\V子集$向量的集合（非唯一）定义了 $V$通过创造所有可能的线性组合的元素 $年代$．所以, $文本\{跨度}(S) = \ {a_1 v_1 + \点+ an v_n \ n \ \中期mathbb {n}, \, ai \中\ mathbb {F} \文本为每个}{我\}。$

主要文章:线性无关

线性无关的概念包含了集合张成时的“冗余”概念。如果一组 $年代$向量可以张成相同的空间，只少一个元素，那么它就是线性相关的;如果它不能用少一个元素张成相同的空间，那么它就是线性无关的。同样,零向量 $\textbf{0}$可以表示为以下元素的线性组合： $年代$只有一种方法:系数为零。

允许 $S\V子集$做一个跨越的集合 $V$并且是线性无关的。然后，任何向量 $V$可以表示为以下元素的线性组合： $年代$只有一种方式。

根据span的定义，在 ${跨度}\文本(S) = V$可以表示为以下元素的线性组合： $年代$．

根据线性无关的定义， $\textbf{0}$可以表示为以下元素的线性组合： $年代$只有一种方式。现在假设一个向量 $u、V$可以表示为以下元素的线性组合： $年代$以两种不同的方式： $u = a₁v_1 + a₂v_2 + \点+ an v_n = b_1 v“_1 + b_2 v”_2 + \点+ b_k v ' _k。$但是 $\textbf{0}=a_1 v_1+\dots+a_n v_n-b_1 v''u 1-\dots-b_k v''k$并不是所有的项都在右边抵消（否则，线性组合将是相同的）。这与线性独立性的定义相矛盾。

因此，任何向量 $V$可以表示为以下元素的线性组合： $年代$只有一种方式。 $_ \广场$

这个定理使基的定义与其关键性质相一致。还有必要证明，对于任意向量空间，确实存在基，但这是从数学归纳法对于有限维向量空间佐恩引理对于无限维向量空间。线性的特性为进一步的结果提供了坚实的基础，比如向量空间的“大小”。

为了讨论向量空间的“维数”，重要的是要认识到这不是向量空间的定义概念。虽然有很多像 $\mathbb{R}^n$有一个非常直接的维度概念（坐标数， $n$)，还有无数其他地方就不那么清楚了。事实上，甚至令人惊讶的是某些向量会形成一组基!

假设 $\数学{B}u 1$是向量空间的基础 $V$，假设 $\数学{B}2$是另一个基础 $V$．然后 $\数学{B}u 1$和 $\数学{B}2$有相同的基数．

如果 $\数学{B}u 1$是有限的，那么维属于 $V$被称为元素的数量 $\数学{B}u 1$， $\text{dim}(V) = | \mathcal{B}_1 |。$

如果存在有限个元素的基，那么从向量空间到它本身的内射线性变换必须是双射。这可以通过数学归纳（有限基础上的元素数量）来表示，并且对于以下证明是必要的。

假设 $\数学{B}u 1={v_1，\，v_2，\，\dots，\，v_n}$是有限的，小于 $\数学{B}2$．然后 $\数学{B}2$包含向量 $u_2, u_1, \ \ \点,\,u_n, \, u_ {n + 1}$．考虑线性变换定义为 $T:v_i\Map到u_i$对于每一个整数 $我$， $1 I \le n$. 这个想法是为了证明这个映射是内射的，而不是满射的，从而产生了一个矛盾（与上述事实相矛盾）。

允许 $v\in v$是这样一个向量 $T（v）=\textbf{0}$然后 $v=a_1 v_1+\dots+a_n v_n$对于一些标量 $ai$,所以 $T (v) = (a_1 v_1 + \点+ an v_n) = a_1 T (v_1) + \点+ an T (v_n) = a_1 u_1 + \点+ an u_n = \ textbf{0}。$自从 $尤伊$是线性无关的，就可以得出这个结论 $ai = 0$对所有 $我$因此 $v=\textbf{0}$然后 $T$必然是单射的，因为它的核是 $\{\textbf{0}\}$．

现在，假设 $在v v ' \$向量是这样的吗 $T（v'）=u{n+1}$. 必须有这样一个向量才能 $T$满溢的。然后 $v'=b_1 v_1+\dots+b_n v_n$对于一些标量 $布依$,所以 $T（v'）=T（b_1 v_1+\dots+b_n v_n）=b_1 T（v_1）+\dots+b_n T（v_n）=b_1 u_1+\dots+b_n u n=u_{n+1}。$自从 $尤伊$是线性无关的，没有可能的选择 $布依$满足这个方程的。然后, $T$不能是满射的。

然而，在具有有限基的向量空间中，注入必须是满射的。由此可见, $\数学{B}u 1$不可能是有限的 $\数学{B}2$比它大。换句话说, $\数学{B}u 1$和 $\数学{B}2$必须具有相同数量的元素。这也适用于无限基，但该论点需要更多关于无限集的知识。（特别是 $\卡帕$有限集的并集有基数 $\卡帕$．）

主要文章:基底

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