假设
v1,v2,...,vn是
V和
u1,u2,...,un是另一个基础
V.然后,根据基的定义,每个基都有一种精确的写法
vk而言,
u我具体来说,有标量
一个我,j
(为整数
1≤我,j≤n)这样
v1vn=一个1,1u1+一个1,2u2+⋯+一个1,nun⋮⋮⋮=一个n,1u1+一个n,2u2+⋯+一个n,nun.
然后,有一个
n×n矩阵
米=(一个我,j)我,j这被称为基的变换矩阵.
米必须是可逆的,因为它必须是内射(它是平方),根据基的定义。任何向量
v=b1v1+b2v2+⋯+bnvn那么是否可以用
u我的直接替代方法:
v=(v1v2...vn)⎝⎜⎜⎜⎛一个1一个2⋮一个n⎠⎟⎟⎟⎞=(u1u2...un)米⎝⎜⎜⎜⎛一个1一个2⋮一个n⎠⎟⎟⎟⎞.
也就是线性变换
T:V→V定义为
T(v)=米v将坐标从
v我的年代
u我的年代。
表达载体
v=15我^−5j^作为向量的线性组合
(11)和
(3.−2).
这归结为寻找标量
一个和
b这
(15−5)=一个(11)+b(3.−2),哪个可以写成矩阵形式
(113.−2)(一个b)=(15−5).从这里,我们可以使用高斯消去法得出结论,
一个=3.和
b=4.
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