秩

在线性代数， 这秩矩阵是的尺寸及其行空间或列空间。它是一个矩阵的行空间和列空间具有相等的尺寸的一个重要事实。

让 $一种$是矩阵。如果 $R（A）$表示的行空间 $一种$和 $C（A）$表示的列空间 $一种$， 然后 $\暗淡\大（R（A）\大）= \暗淡\大（C（A）\大）$。这个数量被称为秩的 $一种$和记 $\文本{RK}（A）$。

直观上，秩措施的线性变换多远表示由矩阵是从感射或满射。认为 $一种$是一个 $m$-经过- $N$矩阵表示的线性变换 $T：\ mathbb {R} ^ N \到\ mathbb {R} ^米$。自从 $C（A）= \ {文本林}（T）$，军衔 $一种$是之间的整数 $0.$和 $m$，和equals $m$正是时候 $T.$是满射。类似的解释存在 $R（A）$在注入方面：军衔 $一种$是之间的整数 $0.$和 $N$，和equals $N$正是时候 $T.$是单射。

让 $一种$豆角，扁豆 $m$-经过- $N$矩阵表示的线性变换 $T：\ mathbb {R} ^ N \到\ mathbb {R} ^米$。我们定义排秩的 $一种$成为 $\暗淡\大（R（A）\大）$，同样的列秩 $\暗淡\大（C（A）\大）$。先验，这些数字不一定相等，但我们会证明他们确实是。

假设排秩 $一种$是 $R.$。我们的做法会产生 $R.$在线性无关矢量 $C（A）$。这将证明 $\暗淡\大（C（A）\大）\ GE \暗淡\大（R（A）\大）$。通过应用同样的理由来的转 $一种$，我们得到了相反的不等式 $\暗淡\大（R（A）\大）\ GE \暗淡\大（C（A）\大）$，因此结果;这个作品是因为服用了转只是交换行和列的空间。

一个人怎么能产生 $R.$在线性无关矢量 $C（A）= \ {文本林}（T）\子集\ mathbb {R} ^ M？$一种可能的方法是选择 $R.$在线性无关矢量 $\ mathbb {R} ^ N$，然后应用 $T.$他们每个人，希望得到 $R.$在载体 $\ mathbb {R} ^米$将本身线性无关。为了确保该作品集 $R.$在线性无关矢量 $\ mathbb {R} ^ N$应该有一些额外的结构，我们可以一起工作;他们不能只是 $R.$随机向量。但是有一个很自然的一套 $R.$在线性无关矢量 $\ mathbb {R} ^ N$：该行空间的基 $R（A）！$

因此，让 $X_1，\ ldots，x_r$是一个基础 $R（A）$。我们必须证明 $TX_1，\ ldots，Tx_r$是线性无关。假设他们都没有;再就是 $C_I \在\ mathbb {R}$（不是所有的零），使得

$0 = \ sum_ {I = 1} ^ {R} C_I Tx_i = T（C_1 X_1 + \ cdots + c_r x_r）。$

通过构造，我们知道 $V = C_1 X_1 + \ cdots + c_r x_r$是的行空间 $一种$。此外，由于 $TV = 0$，计算的文章上做行和列的空间暗示 $V.$是正交的每一行 $一种$。但 $V.$是这些行的线性组合，所以 $V.$正交于本身;因此， $V = 0$。这意味着关系 $C_1 X_1 + \ cdots + c_r x_r = 0$，这是考虑收集的线性无关的荒谬 $\ {X_I \}$。 $_\正方形$

什么是矩阵的秩

$A = \ BEGIN {pmatrix} 2＆1＆0 \\ 3 -1 2 \ {端} pmatrix？$

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注意的前两列 $一种$是线性无关的，因为它们不是彼此的倍数。因此， $C（A）= \ mathbb {R} ^ 2 \意味着\文本{}秩（A）= 2$。 $_\正方形$

让 $一种$豆角，扁豆 $N$-经过- $N$方阵。证明 $一种$有秩 $N$当且仅当 $一种$是可逆的。

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$一种$有秩 $N$当且仅当该行空间 $R（A）$等于 $\ mathbb {R} ^ N$。但是核心的 $一种$恰恰是该行空间的正交补，因此 $R（A）= \ mathbb {R} ^ N \ IFF \文本{ker的}（A）= \ {0 \}$。我们知道 $一种$是可逆的当且仅当它的内核是零，所以我们正在这样做。 $_\正方形$