氢原子
球面谐波最著名的应用之一是用于求解薛定谔方程量子力学中氢原子中电子的波函数。以S.I.单位表示的氢气Schrödinger方程如下:
−2米ℏ2∇2ψ−4πϵ0re2ψ=Eψ,
与
ℏ普朗克常数,
米电子质量,和
E电子的任何特定状态的能量。因为电势能
U(r)=−4πϵ0re2是球对称的,上面使用的分离变量程序仍然有效,势只修改径向解
R(r).氢原子中的电子波函数仍然是这样写的
ψ(r,θϕ)=Rnℓ(r)Yℓ米(θ,ϕ),其中
n对应于能量
En通过求解新的径向方程得到的电子。
在每个固定能量下,氢原子的解是简并的:人们可以修改
Yℓ米(θ,ϕ)在电子波函数的任何解中,不改变电子的能量(假设忽略电子的自旋)。对于每个固定的
n而且
ℓ有
2ℓ+1对应的解
2ℓ+1的选择
米以固定
ℓ.的
Yℓ米(θ,ϕ)因此对应不同可能的电子轨道;它们标记了氢原子中电子在单一固定能量下的独特状态。
考虑到电子的角动量,这种对应关系可以更精确。在量子力学中,总数角动量算子定义为球面上的拉普拉斯算子,直到一个常数:
l^2=−ℏ2(罪θ1∂θ∂(罪θ∂θ∂)+罪2θ1∂ϕ2∂2),
类似的,角动量的运算符
z设在是
l^z=−我ℏ∂ϕ∂.
球谐是这两个算符的本征函数,从上面球谐的构造可以得出:的解
Yℓ米(θ,ϕ)和它的
ϕ依赖关系都是对应于这些算子(或它们的平方)的特征值方程。电子在轨道上与球谐相对应的(总和轴向)角动量
Yℓ米(θ,ϕ)因此,
l2=ℏ2ℓ(ℓ+1),lz=ℏ米.
其中一个结论是,氢原子中电子波函数解中的球面谐波确定了电子的角动量。量子力学中的常数
ℓ而且
米被称为方位量子数而且磁量子数由于它们与旋转的联系以及非零电子的能量
米的状态变化磁场.
(是的,是的)
(是,否)
(不,是的)
(不,没有)
氢原子中的电子在轨道上是由叠加来定义的吗
Y1−1(θ,ϕ)+Y2−1(θ,ϕ)一个特征函数(总角动量算符,角动量约
z轴)?
经典电动力学
如上所述,由于在许多物理方程中普遍存在拉普拉斯,球面谐波通常出现在物理环境中。其中最简单的是经典电动力学中的拉普拉斯方程,它表现为高斯定律:
∇2V=−ϵ0ρ.
电势的通解
V可以在球面谐波的基下展开为
V(r,θ,ϕ)=ℓ=0∑∞米=−ℓ∑ℓ(一个米ℓrℓ+rℓ+1B米ℓ)Yℓ米(θ,ϕ),
在哪里
一个米ℓ而且
B米ℓ是一组取决于边界条件的系数。注意,和式中的第一项本质上就是a劳伦级数在
r描述每一种可能的幂
r符合要求
ℓ.
有半径的导电球
R带着一层电荷
问分布在其表面的是球面上的电势
V=4πϵ01R问罪θ因为θ因为(ϕ).
求出在整个空间中球面谐波的势
(r<R而且
r>R).
从表中低处的球面谐波,角度部分
罪θ因为θ因为(ϕ)的电势可以由正确的线性组合而产生
Y2−1(θ,ϕ)而且
Y21(θ,ϕ).包含正确系数的准确组合是
V=4πϵ01R问罪θ因为θ因为(ϕ)=4πϵ01R问152π
(Y2−1(θ,ϕ)−Y21(θ,ϕ)).
如上所述,拉普拉斯方程在所有空间中的通解是
V(r,θ,ϕ)=ℓ=0∑∞米=−ℓ∑ℓ(一个米ℓrℓ+rℓ+1B米ℓ)Yℓ米(θ,ϕ).
完整的解决方案可能只包含以下的组合
Y2−1而且
Y21在角度部分,因为角度的依赖关系和径向的依赖关系是完全独立的。角依赖于
r=R用球面谐波来解决上述问题,因此处处都是角相关的。
为了指定完整解,系数
一个米ℓ而且
B米ℓ一定要找到。当
r>R,所有
一个米ℓ=0因为在这种情况下势能会发散为
r→∞,势应该消失(或者至少是有限的,这取决于势的零点在这里设置)。所以解可以写成这种形式
V(r,θ,ϕ)=r3.B−12Y2−1(θ,ϕ)+B12Y21(θ,ϕ).
问题在于
r>R这样就简化为只求两个系数了吗
B−12而且
B12.这些可以通过要求电位的连续性来找到
r=R.从解开始
r=R在球面谐波方面,这些系数可以读出:
B−12=4πϵ01问R2152π
=−B12.
完整的解决方案
r>R因此,
V(r,θ,ϕ)=4πϵ01r3.问R2罪θ因为θ因为ϕ,r>R.
类似的分析得到了的解
r<R.在这种情况下,系数
B米ℓ是全部消失还是势能发散
r→0,唯一的非零系数是
一个−12而且
一个12由于角度依赖关系。所以解是这样的
V(r,θ,ϕ)=(一个−12Y2−1(θ,ϕ)+一个12Y21(θ,ϕ))r2
再次需要连续性
r=R得到以下的解决方案
r<R:
V(r,θ,ϕ)=4πϵ01R3.问r2罪θ因为θ因为ϕ,r<R.□
−4πR2问罪θ因为θ因为ϕ
4πR2问罪θ因为θ因为ϕ
4πR2问3.罪θ因为θ因为ϕ
4πR2问5罪θ因为θ因为ϕ
有半径的导电球
R带着一层电荷
问电势分布在它的表面,在空间中到处都是:
V=⎩⎪⎨⎪⎧4πϵ01r3.问R2罪θ因为θ因为ϕ,r>R4πϵ01R3.问r2罪θ因为θ因为ϕ,r<R.
下面哪项给出了球体表面的电荷密度?
注意:回忆一下,导体两侧的电场变化等于
ϵ0σ,在哪里
σ是表面电荷密度。
黑洞物理学
在具有球对称性的物理环境中,球谐在展开解时通常也很有用。球对称的一个有趣的例子,球谐的展开是有用的,在史瓦西的情况下黑洞.无质量复标量场的摄动
Φ在史瓦西黑洞外
米满足弯曲时空广义拉普拉斯方程的一个版本:
∇2Φ∼∇μ∇μΦ=(−r21∂r((r2−2米r)∂r)+∇θ,ϕ2−r2−2米rr4∂t2)Φ=0,
在哪里
∇θ,ϕ2表示球面上的拉普拉斯式。这些扰动对应于探测黑洞所引起的耗散波,就像将鹅卵石扔进水中所引起的耗散波一样。由于黑洞的球形对称性和球面上的拉普拉斯量的存在,扰动的通解可以写成傅里叶变换:
Φ(t,r,θ,ϕ)=∫dωe−我ωtℓ,米∑rΨ(r)Yℓ米(θ,ϕ).
这种分解通常作为模态分析的一部分进行
ω描述摄动的演化
Φ,被称为利用模式[3]。在球面谐波的基础上展开的能力对于允许分离最终约束模态的径向依赖关系至关重要
ω.