当手头的矩阵变换具有明显的几何解释时,计算特征值和它们对应的特征向量并不太难。例如,考虑上面讨论的对角线矩阵以及下面的反射矩阵:
考虑反射矩阵变换
T.=(-10.0.1)这反映了横跨一个矢量
y-轴。找到特征向量和相应的特征值
T.。
在反射后缩放的矢量
y- 轴是平行的
y-AXIS,即在跨度
(0.那1)或平行于
X-AXIS,即在跨度
(1那0.)。
在第一种情况下,载体根本不会改变:
T.(0.那1)=(0.那1)=1⋅(0.那1)那
因此,对于本征值
(0.那1)是
1。
在第二种情况下,在施加变换之后,该矢量的长度保持相同,但方向反转:
T.(1那0.)=(-1那0.)=-1⋅(1那0.)那
因此,对于本征值
(1那0.)是
-1。
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对于任意矩阵,然而,更一般的过程是必要的。
让
一种豆角,扁豆
N-经过-
N基质中,因此它对应于一个变换
R.N→R.N。如果
λ.是特征值
一种,然后有一个向量
V.∈R.N这样
一种V.=λ.V.。重新整理这个公式表明,
(一种-λ.⋅一世)V.=0., 在哪里
一世表示这一点
N-经过-
N单位矩阵。这意味着矩阵的零空间
一种-λ.⋅一世是非零,所以
一种-λ.⋅一世有行列式为零。
请注意,对于每一个矩阵
一种以0作为一个特征值,与特征向量
(0.那0.那⋯那0.)∈R.N。通常,一个人仅关注与特征值相关的非零特征向量,因此公约决定了这一点
0.被认为是一个特征值
一种只有在空白的空间
一种是非零
(等价地,当
X划分
P.一种(X))。
因此,任何本征值
一种必须是多项式的根
P.一种(X)=黛联(一种-X⋅一世)。这被称为特征多项式的
一种。观察到这意味着
一种只有许多特征值(其实最多
N特征值)。
在计算中,特征多项式是极其有用的。为了确定矩阵的特征值
一种,一个解决了的根
P.一种(X),然后检查是否每一根是一个本征值。
考虑矩阵
一种=⎝⎛13.6.-3.-5.-6.3.3.4.⎠⎞。
计算其非零特征值及其相应的特征向量。
的特征多项式
一种可以计算为
黛联(一种-X⋅一世)=黛联⎝⎛1-X3.6.-3.-5.-X-6.3.3.4.-X⎠⎞=16.+12X-X3.。
这个因素
P.一种(X)=-(X-4.)(X+2)2,所以可能的特征值
一种是
λ.1=4.和
λ.2=-2。
证明
λ.1是特征值
一种,它足以表现出矢量
V.∈R.3.和
一种V.=4.V.。这意味着,存在一个矢量,其满足
(一种-4.一世)V.=0.。
(一种-4.一世)V.=⎝⎛-3.3.6.-3.-9.-6.3.3.0.⎠⎞⎝⎛X1X2X3.⎠⎞=⎝⎛0.0.0.⎠⎞
注意
V.1=(21那21那1)诀窍。同样,我们发现对应的特征向量
λ.2=-2通过找到空白的空格
(一种+2一世):
(一种+2一世)V.=⎝⎛3.3.6.-3.-3.-6.3.3.6.⎠⎞⎝⎛X1X2X3.⎠⎞=⎝⎛0.0.0.⎠⎞
这仅提供一个等式:
X1-X2+X3.=0.。两种载体是线性独立的工作
V.2=(1那1那0.)和
V.3.=(0.那1那1)。
求解对应的线性方程系统
一种V.=4.V.表明,任何满足这个方程特征向量的倍数
λ.1。同样,解决对应的系统
一种V.=-2V.展示满足该等式的每个特征向量是一种线性组合
V.1和
V.2。因此,我们发现所有的特征向量
一种。
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