磁矩

如果在磁场中以一定的角度放置，电流环将产生转矩并旋转。电流分布在磁场中经历转矩(也产生自己的磁场)的倾向是由它的磁(偶极子)的时刻．

在静电学中，电荷可以以单一(磁单极子)的指控。然而，在静磁学中没有这样的等价物。根据磁力的高斯定律时，没有磁场单极源。由于没有磁荷，磁矩就成为描述磁现象和磁性材料的一个至关重要的量。

事实上,磁化物质的大部分是用单位体积的偶极矩来定义的。但基本粒子，如电子和质子，也可以以磁矩的形式携带固有磁矩自旋．粒子具有自旋的事实具有深远的影响。例如，在化学中，要正确描述原子能量和化学元素的成键，就必须正确描述自旋。

考虑一个边长为正方形的电流回路 $l$以某种角度放置 $\φ$对于大小一致的磁场 $B$如下所示。如果一些当前 $我$逆时针在循环中流动，每一段都会感到一些力，但不会有合力在循环。相反，作用在环两端的力相互抵消，环的中心将没有净平移。

然而，有一个转矩在循环。的每个线段上的力的大小 $我l B$．循环的两边 $（$没有 $F$在图表中标注 $）$不产生扭矩，因为作用在它们上的力完全在环的平面内。

另外两边贡献了一些非零分量 $I l B \sin{\phi}$垂直于循环。因此，相对于环的中心，每个部分贡献扭矩 $I l^2 B \sin{\phi} / 2$，总数由 $I s^2 B \sin{\phi}$．因此，如果磁场保持固定，回路上的转矩大小只取决于它的面积 $s ^ 2$和当前 $我$．

对于任何几何形状的电流循环都可以得出类似的结论。人们会发现扭矩只取决于 $我$和地区 $一个$．因此，要描述磁场对给定电流环的旋转强度，就有必要定义磁(偶极子)的时刻作为循环的

$\mathbf{m} = I \mathbf{a}。$

注意磁偶极矩被定义为向量数量(和面积向量 $一个$通过与with相同的约定定义电而且磁通，这样就不用把力矩写成 $罪\μB \{\φ}$，我们可以简单地使用简洁的向量符号

$\mathbf{\tau} = \mathbf{m} \times \mathbf{B}。$

考虑一个氢原子的简单经典模型。假设一个电子 $（$电荷 $- e$和质量 $m_e)$原子核的轨道 $（$电荷 $+ e$和质量 $M \ gg m_e)$它完全被静电力限制在一个半径为圆形的轨道上 $R$．电子的磁矩是多少?

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原子核的静电引力提供了使电子保持在原地的全部向心力。因此,速度 $v$的大小由

$R \压裂{m_e v ^ 2}{} = \压裂{1}{4 \π\ epsilon_0} \压裂{e ^ 2} {R ^ 2},$

这意味着

$v^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{R m_e}。$

要确定磁矩，首先要注意电子运动的周期为 $2 \pi R / v$．因此，电流为 $-e / (2\pi R / v) = - ev / (2\pi R)$，对应的磁矩为

$m = - \压裂{回过头}{2}= - \压裂{e ^ 2}{2} \√6{\压裂{R}{4 \π\ epsilon_0 m_e}}。$

替换的值 $e$， $R$, $m_e$收益率 $m = 9.27 \ * 10 ^{-24} \ \文字文本{m}{一}\ cdot \ ^ 2$．(注意:记住电子是如此之小;单位质量的磁矩相当大。)

求半径为圆形圆盘的磁矩 $R$和均匀的表面电荷密度 $\σ$它以角速度旋转 $\ω$．

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我们把圆盘分成许多宽度不等的小环 $博士$．环产生的电流是包含的总电荷除以一次旋转的周期。因此

$dI = \frac{\sigma(2\pi r \， dr)}{\omega/(2\pi)}。$

因式分解每个环的面积得到

$dm & = \ \{对齐}开始大(大\πr ^ 2 \) \压裂{\σ(2 \πr博士)}{\ω/(2 \π)}\ \ & =σ\ \ω\πr ^ 3 \ \ \ \ \ m & = \博士int_0 ^ \ \ω\πr ^ 3 \ \ \ & = \博士压裂{1}{4}\σ\ω\πr ^ 4。结束\{对齐}$

虽然磁偶极子确实在磁场中没有受到合力统一的磁场，在空间变化的磁场中力不一定为零。结果表明，力与场的梯度有关:

$\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{m} \cdot \mathbf{B})，$

类似于电偶极子上的力的类似表达式。

描述电流环的磁场(从垂直轴穿过环的中心)可以证明，作为直接计算毕奥萨伐尔定律秀。更简洁的方法是使用磁矢势．一般结果是

$\ mathbf{一}_{偶极子}\文本(\ mathbf {r}) = \压裂{\ mu_0我}{4 \πr ^ 2} \压裂{\ mathbf {m} \ * \帽子{\ mathbf {r}}} {r ^ 2},$

在哪里 ${\ \帽子mathbf {r}}$从循环指向有问题的点。

假设这个循环的方向是这样的，垂轴沿着 $z$设在。通过取的分量 $\微分算符\ * \ mathbf{一}$，可以表示该场为

$\{对齐}开始提出& = \压裂{\ mu_0}{4π\}\压裂{3 m \ sinθ}{\ \因为{\θ}}{r ^ 3} \ \说是& = - \压裂{\ mu_0}{4π\}\压裂{m (3 \ cos ^ 2{\θ}- 1)}{r ^ 3}。结束\{对齐}$

注意，这些表达式类似于电偶极子．磁场也可以写成这样的形式

$r \ mathbf {B} (\ mathbf{}) = \压裂{\ mu_0}{4 \πr ^ 3} [3 (\ mathbf {m} \ cdot \帽子{\ mathbf {r}}) \帽子{\ mathbf {r}} - \ mathbf {m}]。$

实际上，只考虑磁性偶极子必然是一个近似值，因为电流环只在小环面积的极限内产生“纯”偶极场。在现实中，对于宏观电流分布，在磁场的表达式中会有额外的项。

的多极展开向量势的勒让德多项式收益率

$r \ mathbf {} (\ mathbf{}) = \压裂{\ mu_0我}{4π\}\ sum_ {n = 0} ^ \ infty \压裂{1}{r ^ {n + 1}} \ int r ' ^ n P_n (\ cosθ}{\”)\,d \ mathbf {l}’,$

在哪里 $P_n$表示 $n$勒让德多项式。和式的前几项是

$\开始{对齐}\ mathbf{一}_{单极}\文本(\ mathbf {r}) & = \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{1}{r} \ int d \ mathbf {l} ' \ \ & = 0 \ \ \ \ \ mathbf{一}_{偶极子}\文本(\ mathbf {r}) & = \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{1}{r ^ 2} \ int r ' \ cosθ{\ ' d} \ mathbf {l}’\ \ \ \ \ mathbf{一}_{四极}\文本(\ mathbf {r}) & = \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{1}{r ^ 3} \ int \压裂{r ^ 2}{2} \离开(3 \ cosθ2 ^{\ '}- 1 \右)d \ mathbf {l}’。结束\{对齐}$

适当地，所谓的单极子项消失了，磁性的高斯定律得到了满足。

显然，磁偶极子项在多极展开中再次出现，但附加项(四极子、八极子等)出现了。为了证明偶极子项与前面的讨论一致，可以将余弦项重写为点积:

$\ mathbf{一}_{偶极子}\文本(\ mathbf {r}) = \压裂{\ mu_0我}{4π\}\压裂{1}{r ^ 2} \ int \大(\ mathbf {r}‘\ cdot \帽子{\ mathbf {r}} \ \大),d \ mathbf {l}’。$

我们可以证明这个积分的值是 $-帽子\ {\ mathbf {r}} \ * \ mathbf{一}$，在这种情况下，偶极子项变成

$\ mathbf{一}_{偶极子}\文本(\ mathbf {r}) = \压裂{\ mu_0我}{4 \πr ^ 2} \压裂{\ mathbf {m} \ * \帽子{\ mathbf {r}}} {r ^ 2},$

在哪里 $\mathbf{m} = I \mathbf{a}$就是之前定义的磁偶极矩。其余的项都表示对字段的高阶贡献。在许多实际情况下，如果非消失，偶极项往往占主导地位，而高矩可能被忽略。

[1]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学．第四版。皮尔森,2014年。

[2]珀塞尔,。电和磁．第三版。剑桥大学出版社，2013。