帕斯卡三角形是一种将二项式系数的许多模式形象化的方法。以下是一些可以做到这一点的方法:
二项式定理
的
nth帕斯卡三角形的行包含展开多项式的系数
(x+y)n.
扩大
(x+y)4使用帕斯卡三角形。
的
4th行将包含展开多项式的系数。
(x+y)4=1x4+4x3.y+6x2y2+4xy3.+1y4
曲棍球球棍的身份
从任何一个
1元素在帕斯卡三角形的左边或右边。在一条直线对角求和元素,并在任何时候停止。然后,下一个对角线方向相反的元素将等于这个和。
如果你从
rth排,结束在
nth行,这个和是
k=r∑n(rk)=(r+1n+1).
用帕斯卡三角形,什么是
k=2∑5(2k)?
从一开始
1在
2nd行,并在一条直线对角求和元素,直到
5th行:
1+3.+6+10=20.
或者,简单地从对角线的相反方向看下一个元素,也就是
20.
□
11112113.3.114641⋮⋮⋮⋮⋮1253.0023.0012650⋯1263.25260014950⋯1000
帕斯卡三角形如上图所示
0th行通过
4th行,和部分
25th而且
26th上面还显示了行。
所有的总和是多少
2nd的每一行的元素
25th行吗?
请注意:要求和的可见元素用红色突出显示。
额外的澄清:帕斯卡三角形的最上面一行是
0th行。然后,下一行是
1圣行,等等。帕斯卡三角形中每一行最左边的元素是
0th元素。然后,它右边的元素是
1圣元素,以此类推。
2的幂
元素的和
nth帕斯卡三角形的第一行等于
2n.
这是一种表达身份的方式
k=0∑n(kn)=2n.
11112113.3.114641⋮⋮⋮⋮⋮
帕斯卡三角形如上图所示
0th行通过
4th行。
所有元素的和是多少
12th行吗?
请注意:帕斯卡三角形的最上面一行是
0th行。然后,下一行是
1圣行,等等。
以下属性直接遵循上面的曲棍球棒标识:
三角形的数量
的
2nd元素
(n+1)th行是
nth三角形数.
这是一种表达身份的方式
k=1∑nk=(2n+1).
Sierpinski垫片
构造一个帕斯卡三角形,用不同的颜色在偶元素和奇元素中着色。底纹将与Sierpinski垫片的图案相同:
这是一个应用卢卡斯定理.