曲棍球棍标识可用于开发的标识自然数幂的和.
第一个的平方和
n正整数是
k=1∑nk2=6n(n+1)(2n+1)=2(3.n+2)−(2n+1).□
回想一下前面的例子,第一个和的恒等式
n正整数是
k=1∑nk=(2n+1)=2n(n+1).
第一个的和
n三角数可以表示为
k=1∑n2k(k+1)=21k=1∑nk2+21k=1∑nk.
第一个的和
n三角数之前是用曲棍球棍标识发现的:
k=1∑n2k(k+1)=6n(n+1)(n+2).
代入这些恒等式,用恒等式代替第一个的平方和
n正整数可以表示为:
6n(n+1)(n+2)21k=1∑nk2k=1∑nk2=21k=1∑nk2+21(2n(n+1))=6n(n+1)(n+2)−4n(n+1)=6n(n+1)(2n+1).
这也可以写成二项式系数的形式
k=1∑nk2=2(3.n+2)−(2n+1).□
这种方法可以无限地延续下去,发展出自然数任意幂的和的恒等式。
第一个的立方的和
n自然数是
k=1∑nk3.=4n2(n+1)2=6(4n+3.)−6(3.n+2)+(2n+1).□
考虑前面正整数平方和的等式:
k=1∑nk2=6n(n+1)(2n+1)=2(3.n+2)−(2n+1).
现在考虑正整数平方和的和:
k=1∑nj=1∑kk2=k=1∑n6k(k+1)(2k+1)=3.1k=1∑nk3.+21k=1∑nk2+61k=1∑nk.
这个和也可以用二项式系数和曲棍球棍恒等式来计算:
k=1∑nj=1∑kk2=k=1∑n[2(3.k+2)−(2k+1)]=2(4n+3.)−(3.n+2)=12n(n+1)(n+2)(n+3.)−6n(n+1)(n+2)=12n(n+1)2(n+2).
把这些恒等式代入
12n(n+1)2(n+2)k=1∑nk3.=3.1k=1∑nk3.+12n(n+1)(2n+1)+12n(n+1)=3.1k=1∑nk3.+122n(n+1)2=4n2(n+1)2.
这也可以用二项式系数表示:
k=1∑nk3.=6(4n+3.)−6(3.n+2)+(2n+1).□
在过去的十年里,国王Mathlandia迫使他的臣民为他建造金字塔。国王下令用立方石板建造金字塔。国王还下令将金字塔建造成100平方层,之后每层每面比前一层少2个单元。顶层是用一个立方体建造的。(参见图中以同样方式建造的三层金字塔的例子)。
在最后一个立方体被放置后不久,国王改变了主意。他下令拆除金字塔,在它的地方建造一个立方体的巨石。他下令用建造金字塔所用的石板,把巨石建得尽可能大。
国王不允许浪费,所以他下令为每一块剩余的石头牺牲一个臣民。
国王的臣民中有多少会被牺牲?