该系列<年代pan class="katex"> 给出的和<年代pan class="katex"> 一的幂<年代pan class="katex"> 正数,<年代pan class="katex"> 和<年代pan class="katex"> 是正整数。这些级数中的每一个都可以通过一个封闭的公式来计算。这个案子<年代pan class="katex"> 是由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/gauss-the-prince-of-mathematics/" class="wiki_link" title="高斯" target="_blank">高斯当我还是个小学生的时候,我就被赋予了冗长的加法任务<年代pan class="katex"> 正整数,高斯迅速用公式计算和<年代pan class="katex">
的前几个值的公式<年代pan class="katex"> 如下:
Faulhaber的公式,它提供了一个广义公式来计算这些和的任何值<年代pan class="katex">
对这些金额的操纵在以下领域产生了有用的结果<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/string-theory/" class="wiki_link" title="弦理论" target="_blank">弦理论,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantum-mechanics/" class="wiki_link" title="量子力学" target="_blank">量子力学,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复数" target="_blank">复数.
让<年代pan class="katex"> 解这个方程的基本技巧(高斯应该在小时候就用过)是把和重新排列如下:
将上述两个和进行分组并相加得到
因此,
求第一个的和<年代pan class="katex"> 正整数。
堵塞<年代pan class="katex"> 在我们的方程,
这意味着我们的最终答案是5050。<年代pan class="katex">
证明第一个的和<年代pan class="katex"> 正奇整数是<年代pan class="katex">
有几种方法可以解决这个问题。一种方法是把和看成是第一个的和<年代pan class="katex"> 整数减去第一个的和<年代pan class="katex"> 偶数。第一个的和<年代pan class="katex"> 即使是整数<年代pan class="katex"> 乘以第一个的和<年代pan class="katex"> 整数,把这些放在一起
更简洁地说,这个和可以写成
与前面的练习类似,这里有另一种方法来推导第一个的和的公式<年代pan class="katex"> 正整数。开始<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-theorem-expansions-easy/" class="wiki_link" title="二项展开式" target="_blank">二项展开式的<年代pan class="katex">
重新安排条款如下:
现在把两边相加:
左边的总和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/telescoping-series/" class="wiki_link" title="望远镜" target="_blank">望远镜: =<年代pan class="katex"> 右边等于<年代pan class="katex"> 这给了<年代pan class="katex"> 所以<年代pan class="katex">
这种技术可推广到人们可能希望计算的任何特定的幂和的计算。
继续上一节的观点,从的二项式展开开始<年代pan class="katex">
重新安排的条款:
和之前一样,对左边求和<年代pan class="katex"> 来<年代pan class="katex"> 收益率<年代pan class="katex"> 这给了
求第一个的平方和<年代pan class="katex"> 正整数。
插入<年代pan class="katex">
简化
我们有
简化
我们有
简化
我们有
简化
我们有
和上一节一样,让<年代pan class="katex"> 那么,用同样的方法从二项展开式得到的相关恒等式为
这个递归等式给出了一个公式<年代pan class="katex"> 而言,<年代pan class="katex"> 为<年代pan class="katex"> 它是许多归纳论点的基础。特别是在派生之后注意到的第一个模式<年代pan class="katex"> 为<年代pan class="katex"> 是主要项<年代pan class="katex"> 这里有一个简单的论点,说明这种模式仍在继续:
对于正整数<年代pan class="katex"> 是次多项式吗<年代pan class="katex"> 在<年代pan class="katex"> 它的首项是<年代pan class="katex">
归纳。这个说法是正确的<年代pan class="katex"> 现在假设它对小于的所有正整数都成立<年代pan class="katex"> 然后解上述递归式为<年代pan class="katex"> 得到
在哪里<年代pan class="katex"> 是一些有理数。
现在根据归纳假设,除了第一项以外的所有项都是多项式的次数<年代pan class="katex"> 在<年代pan class="katex"> 所以结论是这样的。<年代pan class="katex">
注意和的连续形式的类比:积分<年代pan class="katex"> 在曲线下面积的近似中,低次项可视为误差项<年代pan class="katex"> 矩形的宽度<年代pan class="katex"> 和高度<年代pan class="katex">
经查实,<年代pan class="katex"> 一个明显的问题是,下标项是否有一个明确的表达式。事实证明这些项可以用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bernoulli-numbers/" class="wiki_link" title="伯努利数" target="_blank">伯努利数,如下所示:
Faulhaber的公式:
也就是说,如果<年代pan class="katex"> 是正整数吗<年代pan class="katex"> 求和的多项式表达式为<年代pan class="katex">
表明,<年代pan class="katex">
这可以直接从福哈伯的公式中读出<年代pan class="katex"> 项是<年代pan class="katex"> 和<年代pan class="katex"> 项是
由于<年代pan class="katex"> 这简化了<年代pan class="katex">
来计算<年代pan class="katex"> 用福哈伯的公式,写下来
和使用<年代pan class="katex"> 得到
这就是因子
请注意,<年代pan class="katex"> 符号只影响术语时<年代pan class="katex"> 因为奇伯努利数是零,除了<年代pan class="katex">
定理的证明很简单(此处省略);它可以通过包含伯努利数的标准递归来归纳,或者更优雅地通过伯努利数的生成函数。