分形gydF4y2Ba
你曾见过一个物体,当你放大时,它似乎在重复自己吗?没有?今天对你来说是个好日子。今天,你将学习gydF4y2Ba分形gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
你可能会问,什么是分形?根据定义,分形是一种曲线或几何图形,它的每个部分都与整体具有相同的统计特征。gydF4y2Ba
分形在建模结构(如侵蚀的海岸线或雪花)时很有用,在这些结构中,类似的模式在逐渐变小的尺度上重复出现,在描述部分随机或混乱的现象,如晶体生长、流体湍流和星系形成。gydF4y2Ba
分形的一个例子是罗曼斯科花椰菜:放大后,小块的花椰菜看起来就像小尺度上的整个花椰菜。gydF4y2Ba
在自然界中,从贝壳、晶体、树叶、羽毛到云、海岸线、山脉和螺旋星系,这种重复模式的例子比比皆是。我们将对此进行探讨gydF4y2Ba分形模式gydF4y2Ba以及描述、生成和测量这些形状的方法。gydF4y2Ba
内容gydF4y2Ba
几何中的自相似与分形gydF4y2Ba
首先,让我们从罗马花椰菜中观察到的分形性质开始。gydF4y2Ba
属性:gydF4y2Ba自相似性gydF4y2Ba是一种属性,它可以将物体放大,产生一个永无休止的重复模式。gydF4y2Ba
自然界中自相似性的另一个例子是结晶水和雪花的重复模式。gydF4y2Ba
我们如何描述这些自相似的模式我们如何在数学上生成自相似的形状在任何放大倍数下都可以复制?我们已经在雪花中看到了分形图案,所以让我们从生成一个类似雪花的自相似图案开始。gydF4y2Ba
科赫雪花gydF4y2Ba
从一个等边三角形开始,用每条边的中间三分之一作为底边创建一个等边三角形,然后去掉三角形的底边。现在,对得到的图形中的每个线段重复这个过程。以下是最初的几次迭代:gydF4y2Ba
继续这个过程给科赫雪花的极限。这是多次迭代后的边界特写:gydF4y2Ba
由于放大到科赫雪花给出了一个曲线,它是在一个较小的规模上的自身的副本(称为科赫曲线),科赫雪花显示自相似性。gydF4y2Ba
如果我们开始的等边三角形边长是1,那么注意到通过将每个线段替换为gydF4y2Ba 长度是1 / 3的线段,乘以长度gydF4y2Ba 在每一个步骤。这表明gydF4y2Ba 步数,周长是gydF4y2Ba 因此,如果用一维曲线来测量,科赫星的周长是无限的。gydF4y2Ba
然而,正如我们稍后将看到的,这是因为科赫雪花应该被认为有一个以上的维度,试图在错误的维度测量一个形状给出了一个无意义的答案。这类似于测量覆盖一个二维正方形所需的非常细的线的数量。我们将需要一个无限长的线程,因为我们试图用一维曲线测量一个二维物体。gydF4y2Ba
科赫雪花表明,即使分形是复杂的,它们可以通过重复应用简单的规则生成。我们可以把科赫雪花的开始三角形想象成gydF4y2Ba引发剂gydF4y2Ba以及用峰代替每一行的步骤gydF4y2Ba发电机gydF4y2Ba.如果我们转而使用线段作为启动器并使用以下生成器,我们将获得不同的模式。gydF4y2Ba
这些例子演示了分形的以下性质。gydF4y2Ba
分形具有任意小尺度的细节,并显示出传统几何语言无法描述的不规则性。gydF4y2Ba
换句话说,分形是一种物体,在任何放大率下,都不会像欧几里得空间那样“平滑”。gydF4y2Ba
Sierpinski垫片gydF4y2Ba
Sierpinski垫圈是一个由更小的复制品组成的三角形。从一个填满的三角形开始,连接每条边的中点,去掉中间的三角形,然后遍历剩下的三个填满的三角形。gydF4y2Ba
如果我们从一个有边长的三角形开始gydF4y2Ba ,是什么面积的Sierpinski垫片(空间被黑色)在gydF4y2Ba th一步?观察黑色三角形的数量gydF4y2Ba th步骤是gydF4y2Ba 三角形的边长gydF4y2Ba th步骤是gydF4y2Ba .然后是黑色空间的面积gydF4y2Ba th步骤是gydF4y2Ba 乘以原来三角形的面积,或者gydF4y2Ba
它趋近于0gydF4y2Ba 趋于无穷。就像科赫雪花一样,希尔平斯基垫圈的尺寸应该小于2,如果用错误的尺寸测量,就会得到一个毫无意义的答案。gydF4y2Ba
分形在代数gydF4y2Ba
通过多次重复一个简单的计算,并将输出输入,也会产生分形。我们考虑的第一个这种分形是以Benoit Mandelbrot命名的,他在20世纪60年代创造了分形这个词,以捕捉所有尺度上的碎片概念。gydF4y2Ba
曼德尔勃特集合gydF4y2Ba
每一个gydF4y2Ba复数gydF4y2Ba可以被认为是二维空间中的一点吗gydF4y2Ba复平面gydF4y2Ba.从gydF4y2Ba 生成序列gydF4y2Ba 使用方程gydF4y2Ba
考虑给点上色gydF4y2Ba 在复平面中gydF4y2Ba 这取决于结果序列是否gydF4y2Ba 趋向于无穷。的所有起始值gydF4y2Ba 在Mandelbrot集合之外产生一个趋近于无穷的序列。像素的颜色是由序列离原点更远的速度决定的。Mandelbrot集合中的所有点都会产生一个序列,该序列的值会变得更小,或者在固定值的域之间交替。gydF4y2Ba
Mandelbrot集合的边界是点的集合gydF4y2Ba 每个圆的圆心都在gydF4y2Ba 包含了Mandelbrot集合中的点和不在Mandelbrot集合中的点。通过放大曼德尔勃洛特集的边界,我们看到它包含曼德尔勃洛特集的无限多个副本。gydF4y2Ba
茱莉亚集gydF4y2Ba
现在,而不是变化gydF4y2Ba ,假设我们确定的值为gydF4y2Ba 对于每一个点gydF4y2Ba 在复平面中,再次考虑序列gydF4y2Ba 生成的gydF4y2Ba
现在,用颜色标出起始点gydF4y2Ba 在复平面中,其序列不会跑到无穷远。这使得每个复数都有一个朱莉娅集gydF4y2Ba .以下是朱莉娅设定界限的几个例子:gydF4y2Ba
分形维gydF4y2Ba
分形的研究包括测量一个叫做的数字的缩放特性gydF4y2Ba分形维数gydF4y2Ba.分形维数有几个不同的概念,这里我们重点讨论自相似分形的分形维数的概念。为了获得一些关于测量自相似物体的直觉,让我们先考虑一下当我们缩放简单的几何物体时会发生什么。从一段长度的线段开始gydF4y2Ba .如果我们把这条线段缩小到有长度gydF4y2Ba ,则原线段可替换为gydF4y2Ba 小的线段。类似地,假设有一个边长的正方形gydF4y2Ba .如果我们把正方形缩小成一个边长较小的正方形gydF4y2Ba 那么原来的正方形就可以用gydF4y2Ba 小方块。继续这样,如果我们考虑一个有边长的立方体gydF4y2Ba 将立方体缩小到一个边长更小的立方体gydF4y2Ba 那么原来的立方体就可以用gydF4y2Ba 较小的数据集。在每种情况下,指数都与我们对物体维度的直觉相匹配:直线有维度gydF4y2Ba ,正方形有尺寸gydF4y2Ba ,立方体有尺寸gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
一般来说,一套由gydF4y2Ba 自身的副本按比例缩小了一倍gydF4y2Ba 有gydF4y2Ba相似的尺寸gydF4y2Ba
解释:gydF4y2Ba如果一个集合是由gydF4y2Ba 自身的副本按比例缩小了一倍gydF4y2Ba ,则维数就是数字gydF4y2Ba 令人满意的gydF4y2Ba 我们有gydF4y2Ba
科赫雪花的相似性维度是什么?在生成过程中,我们从一个三角形开始,用gydF4y2Ba 长度为三分之一的线段。那么相似度为gydF4y2Ba
谢尔平斯基三角形的相似度是多少?在生成过程中,我们从一个三角形开始,用gydF4y2Ba 三角形的边长是一半。那么相似度为gydF4y2Ba
分形维数可以附加到云、树、神经元和河流分支上,并提供了一种测量或描述标准几何方法无法捕捉到的不规则性的方法。gydF4y2Ba
英国的海岸有多长?gydF4y2Ba
你将如何测量英国的海岸线?一种可能的方法如下。gydF4y2Ba
方法:你的朋友有一根可以测量任何长度的卷尺gydF4y2Ba ,你们俩沿着海岸走,以线段的长度近似边界gydF4y2Ba 一边走一边标记点。最后,将标记的线段的数目相加,就会得到一个近似的长度gydF4y2Ba 的海岸。gydF4y2Ba
作为gydF4y2Ba 越来越小,我们已经知道了近似长度gydF4y2Ba 接近海岸的真实长度gydF4y2Ba .但事实上,这并没有发生——相反,我们观察到,在英国的海岸线上,gydF4y2Ba 增加没有限制!当一个海湾或半岛被放大时,有子海湾和子半岛。进一步放大可以得到子子湾和子半岛。粗略估计,海岸线的大小细节是相似的,只是规模不同。gydF4y2Ba
这让你想起了科赫雪花吗?用较短的卷尺测量会得到较长的长度,类似于用较短的线段来测量科赫雪花的长度。那么英国海岸的面积是多少呢?如果长度被测量为gydF4y2Ba 那么这个满足agydF4y2Ba幂律gydF4y2Ba分布gydF4y2Ba
策划gydF4y2Ba 对gydF4y2Ba 然后给出直线和斜率gydF4y2Ba 这条线的分形维数。通过为不同的海岸线创建这些图,我们可以计算出不同国家的以下维度:gydF4y2Ba
有趣的循环往复的模式gydF4y2Ba
如果你曾经坐过长途飞机或自驾游,你可能会发现自己处于以下自我重复的模式中!gydF4y2Ba
自然中的分形画廊gydF4y2Ba
分形是理解许多混沌系统的基础,在科学中有许多应用。它们也是美丽迷人的物体,正如我们在曼德尔布罗特和朱莉娅集合中看到的那样。在本节中,我们收集了自然界中各种尺度的分形的例子。gydF4y2Ba
人脑皮层的神经元在脑细胞分支中显示出分形图案。gydF4y2Ba
肺部利用分支结构形成的大表面积来交换氧气。gydF4y2Ba
树木表现出分形的分支模式。gydF4y2Ba
海岸线是最早被研究的分形之一。gydF4y2Ba
云呈现重复的分形图案。gydF4y2Ba
你观察到的分形图案有哪些例子?gydF4y2Ba