证明
43.7∣(18!+1).
第一次注意到
43.7=19×23.这就足以证明了
18!≡−1(米od19),(米od23.).
现在自
19是一个典型的,
18!≡−1(米od19)紧接着是威尔逊定理。还指出,
23.是质数吗
24×18!=≡=18!×(−1)×(−2)×(−3.)×(−4)18!×19×20×21×2222!≡威尔逊的−1≡−24(米od23.),
因此
18!≡−1(米od23.)也
因此,
43.7∣(18!+1).
□
(ARML 2002)
让
一个∈N这样
1+21+3.1+⋯+23.1=23.!一个.
找到
一个(米od13.).
将方程改写为
一个=23.!+223.!+3.23.!+⋯+23.23.!.
很明显,右边的所有项都是整数。也只是
13.23.!,所有的商都包含因子
13.因此能被
13..因此,我们得到
一个=≡≡=23.!+223.!+3.23.!+⋯+23.23.!13.23.!=1×2×⋯×12×14×⋯×23.(1×2×⋯×12)×(1×2×⋯×10)12!×10!≡威尔逊的12×10!(米od13.).
所以我们知道
一个≡12×10!(米od13.).现在我们使用
11!≡1≡66(米od13.),后面跟着威尔逊的。因此
10!≡6(米od13.).最后,我们有
一个≡12×10!≡12×6≡7(米od13.),
这就是答案。
□
让
p做一个奇素数。让
一个={一个1,一个2,...,一个p}而且
B={b1,b2,...,bp}是模剩余类的完备集
p.展示这个集合
{一个1b1,一个2b2,...,一个pbp}不是剩余类的完全集合。
我们将用反证法来证明。假设存在集合
一个,B这给了我们一个完整的剩余类集合。
首先,如果存在
我=j这样
一个我≡bj≡0,然后
一个我b我≡一个jbj≡0,这不会给我们一个完整的剩余类集合。因此,我们可以假定
一个我≡b我≡0(米odp).WLOG,
我=p.
根据威尔逊定理,我们得到了这个
我=1∏p−1一个我≡−1(米odp)而且
我=1∏p−1b我≡−1(米odp).
如果
{一个我b我}我=1p−1形成一个完整的非零余数类,那么我们必须有
−1≡我=1∏p−1一个我b我≡我=1∏p−1一个我我=1∏p−1b我≡(−1)×(−1)≡1(米odp).
自
p是奇素数,
p>2我们有
−1≡1(米odp),这是一个矛盾。因此,
{一个我b我}不是剩余类的完全集合。
□
求余数
2016!−2015!除以
2017.
你可以利用这个事实
2017是质数。