麦克斯韦方程
积分形式
的洛伦兹定律,在那里 和 分别是电荷粒子的速度,定义了电场 和磁场 通过指定总电磁力 作为
本质上,取与移动电荷相互作用产生的电磁力的一部分( )为磁场,另一部分为电场。
高斯定律:被发现的四个麦克斯韦方程中最早的一个库仑定律)是高斯定律.在其积分形式在国际标准单位,它说明了a所包含的总电荷封闭曲面与总数成正比吗电通量(场的法向分量之和)穿过表面:
比例常数在哪里 的倒数电常数.总电荷用电荷密度表示 在一个区域内整合。
高斯磁力定律:虽然磁偶极子可以产生类似的结果磁通,它具有类似的数学形式,不存在等价的磁单极子,因此整个空间的总“磁荷”总和必须为零。因此,高斯磁力定律读起来简单
法拉第定律:当电场经历时间演化时,电场和磁场就交织在一起。在1820年代,法拉第发现磁通量的变化会在一个闭合环路上产生电场。现在调用这个关系法拉第定律:
安培定律:最后,安培定律表明通过表面的稳定电流导致磁场(以通量表示)。此外,麦克斯韦还确定了电通量的快速变化 也会导致磁通量的变化。总之,Ampère的麦克斯韦修正定律是成立的
总之,
- 高斯定律:
- 磁的高斯定律:
- 法拉第定律:
- 安培定律:
麦克斯韦方程组的积分形式可以用来描述电荷或电流区域。
微分形式
为了在空间中单独的点上进行局部表述和计算麦克斯韦方程组,我们可以在它们的点上重铸麦克斯韦方程组微分形式,它使用微分算子div和旋度.
高斯定律的微分形式:的散度定理认为封闭曲面上的表面积分可以写成区域内散度上的体积积分。因此,
既然这个命题对所有闭曲面都成立,那么被积函数一定是相等的
(高斯磁力定律的微分形式的推导是相同的。)
Ampère定律的微分形式:一个可以使用斯托克斯公式重写线积分 用曲面积分来表示旋度的
Ampère的定律是这么说的
当然,两个方程中的曲面积分可以在任意选择的闭曲面上取,因此被积函数必须相等:
法拉第定律的微分形式:根据法拉第定律的积分形式
就像Ampère的定律一样,我们可以在左边调用Stokes定理使两个被积函数相等:
再者,有人认为,既然这种关系必须适用于任何任意的表面 ,这两个被积函数一定是相等的
总而言之,结果如下:
- 高斯定律
- 高斯磁力定律
- 法拉第定律
- 安培定律
电磁波
通过将麦克斯韦的四个方程组合在一起,并对Ampère定律进行修正,麦克斯韦能够证明电磁场可以以行波的形式传播。换句话说,麦克斯韦方程组可以组合成a波动方程.麦克斯韦的洞察力是物理学最伟大的理论胜利之一。这一结果的简单示意图如下:
为了简单起见,假设有一个空间区域电场在其中 非零是否只在 轴和磁场 非零是否只在 -轴,这样两者都是的函数 只有。法拉第定律给出
尽管 ,加上这一项,安培定律就给出了
对第一个方程求偏导数 第二个是关于 收益率
因此,
这个方程有解 及相应的解决方案 代表旅行的电磁波.事实上,刚刚推导出来的方程和经典方程的形式是一样的波动方程在一个维度。换句话说,电和磁定律允许电场和磁场以波的形式传播,但前提是把麦克斯韦修正加到Ampère定律中。事实上,麦克斯韦是第一个为经典电磁波提供理论解释的人,计算光速。
(一般的解决方案包括线性组合的正弦分量,如下图所示。)
参考文献
[1]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学.第四版。皮尔森,2014年。
[2]珀塞尔,。电和磁.第三版。剑桥大学出版社,2013。