楞次定律gydF4y2Ba

楞次定律gydF4y2Ba声明无论何时gydF4y2Ba磁通gydF4y2Ba通过导电回路，产生电流，产生电流gydF4y2Ba磁场gydF4y2Ba这平衡了变化，即保持gydF4y2Ba $vec {B} \ int_A \ \ cdot \ vec {n}gydF4y2Ba$常数。这是……的结果gydF4y2Ba法拉第感应定律gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

通过某一区域的外加磁场感应出电流。根据楞次定律，由感应电流产生的感应磁场与外场相反。gydF4y2Ba

当磁场gydF4y2Ba $vec {B} \gydF4y2Ba$通过一个封闭的传导回路gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，它会引起磁通量:gydF4y2Ba $\Phi_B = vec{B} \cdot \vec{A}gydF4y2Ba$在这里gydF4y2Ba $vec{一}\gydF4y2Ba$单位向量，该向量指向与回路包围的曲面正交的任意位置。上面的点积表示与线圈成一定角度的磁场通过该线圈的磁通量小于与线圈平面正交的磁场。形式上，如果回路不在平面内，则通量被写成回路所包围表面上的积分：gydF4y2Ba $\Phi_B = int vec{B} \cdot d\vec{A}gydF4y2Ba$

如果回路是一个螺线管或其他多圈线圈，则线圈的每一圈通常由其圆形横截面近似，每一圈的磁通量相加。gydF4y2Ba

法拉第感应定律gydF4y2Ba当通过一个闭合导电回路的磁通量随时间变化时gydF4y2Ba电动势gydF4y2Ba在该循环中被诱导:gydF4y2Ba $文本\ varepsilon_{\{诱导}}= - \压裂{d \ Phi_B} {dt}。gydF4y2Ba$

由于回路是导电的，所以它有一些电阻gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$，电动势感应电流根据gydF4y2Ba欧姆定律gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $I{\text{induced}}=\frac{\varepsilon{\text{induced}}{R}=-\frac{1}{R}\frac{d\Phi_B}{dt}。gydF4y2Ba$

反过来，感应电流会根据磁场的大小产生磁场gydF4y2Ba安培定律gydF4y2Ba，其自身具有通过闭环的流量。根据伦茨定律，感应电流的方向和感应磁通量与原始磁通量相反。值得注意的是，通量的变化方向可能是gydF4y2Ba相反gydF4y2Ba向磁场的方向，例如，如果磁场强度减小或倾斜。gydF4y2Ba

由于感应电流的符号决定了感应磁通量的方向，法拉第定律中的负号也经常被称为楞次定律而不是概念陈述。gydF4y2Ba

伦茨定律允许gydF4y2Ba电感器gydF4y2Ba在电路中工作。当电流在电路中迅速变化时，电感器两端有一个很大的电压。这是因为电感器经常gydF4y2Ba螺线管gydF4y2Ba或者电流引起磁通量的环面。当电流迅速变化时，磁通量迅速变化，并产生一个大的电动势，与原始电流的变化相反。gydF4y2Ba

用楞次定律解释一个简单的电动机是如何工作的。gydF4y2Ba

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解决方案:gydF4y2Ba

作为一个简单的电机，考虑一个线圈线圈是静止在垂直磁场中，这样就没有磁通通过线圈:gydF4y2Ba

在垂直磁场中的线圈。区域向量gydF4y2Ba $vec{一}\gydF4y2Ba$因为导线的平面垂直于磁场，所以没有磁通量。gydF4y2Ba

如果线圈轻微旋转，面积矢量和磁场之间的夹角就不再为零。因此，磁通量随时间增加。根据法拉第感应定律，这会产生一个电动势，在线圈中产生电流。这种感应电流产生一个与外加磁场相反的磁场，因为外加磁场的通量在增加:gydF4y2Ba

当线圈倾斜时，面积矢量gydF4y2Ba $vec{一}\gydF4y2Ba$不再垂直于外加磁场gydF4y2Ba $vec {B} \gydF4y2Ba$，因此外加磁场的磁通量增加。这会在线圈中产生电动势和电流，从而产生与外加磁场相反的感应磁场。gydF4y2Ba

现在回想一下，永磁体的同极相斥，而永磁体的相反极相吸引。原因是相反极有平行磁力线，而同极有反平行磁力线。这里，线圈感应磁场的垂直分量与外加磁场反平行，作为“类似极”。这会导致施加的磁场向下推动线圈，排斥感应磁场并导致线圈旋转（前提是线圈一侧的磁场弱于另一侧）。gydF4y2Ba

一旦线圈翻转一半，磁通量将开始下降，线圈上的力将作用在相反的方向。为了抵消这一点，线圈的一面通常被绝缘材料覆盖，以减少流过线圈的电流。因此，通过最初快速改变线圈的角度，一个非常大的电动势和一个大的感应磁场可以从线圈产生，使线圈旋转足够快，以完成一个完整的旋转。然后循环再次开始，驱动线圈通过另一个完整的旋转，以此类推。gydF4y2Ba

证明楞次定律的一个常见实验是“磁滴”实验。在这个实验中，一个(通常是强力的钕)磁铁通过一个通常是铜制的导电管。随着磁体下落而变化的磁通量在管中产生电流，从而产生一个与永磁体磁场相反的磁场。由于磁铁的同极相斥，而感应磁场似乎在磁铁的两端是一个同极，因此一个磁力作用在永磁体上，由于重力使其下降速度减慢。gydF4y2Ba

一个强大的磁铁落在一个铜管中，通过楞次定律使铜管悬浮;在这里，短铜管被反复旋转以保持磁铁悬浮[2]。gydF4y2Ba

有质量的永磁体gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是在一根长铜管的阻力中间从静止中释放出来的吗gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$横截面积gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$如上所述。使永磁体的磁场强度如下面提示1中所示的近似与gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$被某个常数取代gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$．求磁铁的速度随时间的函数，如果磁铁在gydF4y2Ba $t=0gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

提示1:由半径为1的电流环引起的磁场的大小gydF4y2Ba $\rhogydF4y2Ba$沿循环轴线为:gydF4y2Ba

$(2)(2+ 2)^{3/2}}。gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$是沿回路轴的距离，并且gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$是回路中的电流。gydF4y2Ba

提示2：两个磁偶极矩之间的力为gydF4y2Ba

$F=|\nabla（\vec{m}\cdot\vec{B}）|gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$场是由一个偶极矩和gydF4y2Ba $m = IAgydF4y2Ba$另一个偶极矩呢gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$有效电流和有效电流gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$将第二偶极子视为电流回路的横截面积。gydF4y2Ba

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解决方案:gydF4y2Ba

远处gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$沿管道向下，通过管道圆形截面的磁通量变化率的大小为:gydF4y2Ba

$\ \压裂{d Phi_B} {dt} = \压裂{dB} {dt} = \压裂{d} {dt} \离开(\压裂{\ mu_0 I_0 \ sqrt{/ \π}}{2((/ \π)+ r ^ 2 (t)) ^{3/2}} \右)= - \压裂{3 \ mu_0 I_0 r (t) v (t)大概{}\ \π^ 2}{2 (A + \πr (t) ^ 2) ^{5/2}}。gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$是一个常数，用来描述永磁体作为磁偶极子的有效强度。gydF4y2Ba

因此，在包围这个截面的铜环中感应到的电流的大小为:gydF4y2Ba

$我(t) = \压裂{3 \ mu_0 I_0 r (t) v (t)大概{}\ \π^ 2}{2 r (A + \πr (t) ^ 2) ^{5/2}}。gydF4y2Ba$

在下落磁铁下方，磁通量随时间增加。因此，电流的方向产生了一个与永磁体磁场相反的磁场，该磁场将表现为一种斥力。在下落的磁铁上方，磁通量为gydF4y2Ba减少gydF4y2Ba随着时间的推移。因此，电流的方向产生了一个与永磁体方向相同的磁场，永磁体将表现为一种吸引力。这两种效应减缓了永磁体的下落速度。gydF4y2Ba

用提示2，铜环的偶极矩与永磁体磁场之间的力为:gydF4y2Ba

$（t）t（t）A（3/2）5/2{{t（t）P（t）t（t）A（3/2）3/2{3/2}\P（t）t（t）t（t）t（t）t（t）及（t）1[2）t（t）及（t）村（t）3（t）村（t）3（t）村（t）3（t）村）村（t）3（t）村（t）村）3（t）村）村）村（t）0（t）0（t）0（t）村（t）3）村（t）村（t）村（t）0（t）0（t）村（t）村（t）0）0（t）r（t）r（t）村（t）3）村（t）村（t）村（t）村（t）村（t）3（t）村（t）村（t）3）村（3）^2\pi^4}{4R（A+\pi r（t）^2）{5}。gydF4y2Ba$

这是一个单一电流环作用在永磁体上的力。为了求出作用在永磁体上的总力，必须在两个方向上积分gydF4y2Ba $r (t)gydF4y2Ba$上面和下面的永久磁铁。记住，上面的力只是一个大小，力的函数是偶数的，它足以计算一个方向的力，并将其加倍:gydF4y2Ba

$\本{{对齐{开始{对齐{开始{{对齐}本{{{{{{{本{{{{{{{{{{{{本{本{本{{{{本{{{{本{{{{{总}}}{{{{{{{{{{{{{本区内{{{3 3村村村{{{9\MUU 0 0 0^2μμμ0 0^2区的两两个市政市政市政市政市政局的中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学2 2 2 2区的2 r（2 r（r（t）2区）2 r（r（t）2）2）2区）r（t）2区）r（t）r（t）2区）2区）r（t）2区）r（t）的r{5}dr\\\&=\frac{9\mu{0^2 I{0^2 v（t）A^2\pi^4}{2R}左（\frac{5}{256\sqrt{7/2}右）=\frac{45\mu 0^2 I{0^2 I{0^2\pi}3/2}{512 R A ^{3/2}}v（t）\end{aligned}gydF4y2Ba$

力的形式是agydF4y2Ba粘性阻尼力gydF4y2Ba与速度成正比，这是对上述讨论有效性的一个很好的检验。gydF4y2Ba

最后，写下牛顿第二定律，就能找到速度。磁铁由重力加速，重力与上面所述的磁力相反：gydF4y2Ba

$Mv ' (t) = Mg - \压裂{45 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 \π^ {3/2}}{512 R ^ {3/2}} v (t)。gydF4y2Ba$

根据参数定义常量gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$45 \ \ kappa = \压裂{mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 \π^ {3/2}}{512 R ^{3/2}}。gydF4y2Ba$

牛顿第二定律是这样的:gydF4y2Ba

$Mv'(t) = Mg - \kappa v(t)gydF4y2Ba$

这是一阶常微分方程，具有初始条件gydF4y2Ba $v (0) = 0gydF4y2Ba$由于永磁体从静止位置掉落，求解为:gydF4y2Ba

$v (t) = \压裂{Mg} {\ kappa} \离开(1 - e ^{- \压裂{\ kappa t} {M}} \右)= \压裂{512毫克R ^ {3/2}} {45 \ mu_0 ^ 2 I_0 ^ 2 \π^{3/2}}\离开(1 - e ^{- \压裂{\ kappa t} {M}} \右)。gydF4y2Ba$

在后期，永磁体接近一个终端速度gydF4y2Ba $\frac{Mg}{\kappa}gydF4y2Ba$指数增长迅速。此外，如果永磁体较弱(gydF4y2Ba $\ kappa \大约0gydF4y2Ba$)以上RHS可泰勒展开:gydF4y2Ba

$v（t）\approx\frac{Mg}{\kappa}\ left（\frac{\kappa t}{M}-\frac{\kappa^2 t^2}{2M^2}\ right）=gt-\frac{\kappa g t^2}{2M}。gydF4y2Ba$

这在通常的线性增长的早期提供了一个小的负面修正gydF4y2Ba $燃气轮机gydF4y2Ba$和预期的一样。gydF4y2Ba

在整个计算过程中进行了许多近似：磁偶极子近似为电流环，管长且横截面小，因此边缘效应不明显，以及假设磁偶极子与每个电流环的相互作用可由偶极子-偶极子积分模拟尽管如此，上面得到的解析表达式很好地捕捉了物理场景的定性行为。如果管的横截面很宽或电阻很高，则感应电流很小，阻尼很慢，终端速度较高。如果gydF4y2Ba $I_0gydF4y2Ba$是大的，永磁体是非常强的，诱导一个强阻尼效果，符合小终端速度和高阻尼速度以上发现。gydF4y2Ba

同样的效果在MRI扫描仪中也可以看到，这就像具有更强大磁场的管子。下面，Lenz定律在MRI磁场中铝条的缓慢运动中得到了证明：gydF4y2Ba

磁共振成像的强大磁场诱导铝棒产生磁场，产生反重力的力。杆在下降gydF4y2Ba在真正的时间gydF4y2Ba[3]。gydF4y2Ba

[1]珀塞尔,。gydF4y2Ba电和磁gydF4y2Ba．第三版。剑桥大学出版社，2013。gydF4y2Ba

[2]节选自https://www.youtube.com/watch?v=keMpUaoA3Tg使用GIPHY.com。gydF4y2Ba

[3] 摘自https://www.youtube.com/watch?v=liDjr439-fY使用GIPHY.com。gydF4y2Ba