散度与环流密度

三维矢量场的散度是矢量场流在给定点上表现得像一个源的程度。这是它的“外向性”的局部衡量标准——在某种程度上，离开一个无限小的空间区域比进入它更多。如果散度在某一点非零，那么在那个位置一定有一个源或汇。^[1]

假设我们有一个描述流体流入矩形区域(如图所示)的速度场，它由以下表达式定义: $\ mathbf F (x, y) = F_x (x, y) \帽子{x} \ mathbf + F_y \帽子{\ mathbf y}。$

流入矩形区域的流体

正如图中所示，我们有矩形的长度和宽度 $\δx$而且 $\δy$．因此，离开矩形某一侧的流体流速为: $(\text{流体在各自角落的速度})\times (\text{边长})。$

根据这个公式，矩形每边的流体流速为 $\begin{aligned} \text{左}:\quad &\mathbf F(x,y)\cdot (-\hat{\mathbf x})\Delta y\ quad\quad =-F_x(x,y)\Delta y\\ text{右}:\quad &\mathbf F(x+\Delta x,y)\cdot \text{Top}: \quad &\mathbf F(x,y+\Delta y)\cdot \hat{\mathbf y}\Delta x\ quad =F_y(x,y+\Delta y)\Delta x\ text{Bottom}: \quad &\mathbf F(x,y)\cdot \text{-\hat{\mathbf y}\Delta x\ quad\quad =-F_y(x,y)\Delta x\ quad\quad =-F_y(x,y)\Delta x\ quad\quad =-F_y(x,y)\Delta x\ cdot \text{-\hat{\mathbf y}\Delta x\ quad\quad =-F_y(x,y)\Delta x\ quad\quad =-F_y(x,y)\Delta x\ quad\quad \end{aligned}$

现在，去寻找整体流出，我们需要把矩形每边的流体流速加起来，我们得到 $\begin{aligned} \text{左+右}:\quad &-F_x(x,y)\Delta y+ F_x(x+\Delta x,y)\Delta y = \左(\dfrac{\partial F_x}{\partial x}\Delta x\右)\Delta y\\ \text{Top + Bottom}: \\ quad &F_y(x,y+\Delta y)\Delta x -F_y(x,y)\Delta x\ quad = \左(\dfrac{\partial F_y}{\partial y}\Delta y\右)\Delta x\ x. \end{aligned}$

最后，将得到的值相加，并将这个和除以矩形的面积，得到流出也就是流体的散度 $\dfrac{\左(\dfrac{\partial F_x}{\partial x}\Delta x + \左(\dfrac{\partial F_y}{\partial y}\Delta y\右)\Delta x}{\Delta x\ Delta y}=\左(\dfrac{\partial F_x}{\partial x}\右)+ \左(\dfrac{\partial F_y}{\partial y}\右)。$

的散度向量场的通量密度是多少 $\mathbf F = F_x\hat{\mathbf x} + F_y\hat{\mathbf y}$在点 $(x, y),$给出的

$\text{div}\mathbf F = \dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}。$

现在，我们设计了一种方法来计算流体沿该区域循环的速率，再次考虑具有相同速度向量的矩形的情况: $\ mathbf F (x, y) = F_x (x, y) \帽子{x} \ mathbf + F_y \帽子{\ mathbf y}。$

流体流入一个矩形区域，并向循环方向流动

[由于公式是相似的，我复制和粘贴相同的符号有细微的变化，文本将很快添加]

(文本)

$数组{}{rll} \ \开始文本{左}:& F (x, y) \ \ mathbf cdot(- \帽子{\ mathbf y}) \δy & = -F_yδy (x, y) \ \ \ \文本{右}:& \ mathbf F (x + \δx, y) {\ mathbf y} \ \ cdot \帽子δy & = F_y (x + \δx, y) \δy \ \ \文本{顶级}:& \ mathbf F (x, y +δy) \ \ cdot(- \帽子{x} \ mathbf) \δx & = -F_x (x, y +δy) \ \δx \ \ \文本{底部}:& F (x, y) \ \ mathbf cdot \帽子{x} \ mathbf \δx & = F_x (x, y) \δx。\{数组}结束$

(更多的文本)

$\begin{aligned} \text{左+右}:\quad &-F_y(x,y)\Delta y+ F_y(x+\Delta x,y)\Delta y = \左(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}\Delta x\右)\Delta y\\ \text{Top + Bottom}: \\ quad &-F_x(x,y+\Delta y)\Delta x -F_x(x,y)\Delta x\ quad = -\左(\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\Delta x\右)\Delta y\\ \$

(更多的文本)

$\dfrac{\左(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}\Delta x\右)\Delta y -\左(\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\Delta y}=\左(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}\右)-\左(\dfrac{\partial F_x}{\partial y}{\partial y} x\右)。$

的循环密度矢量场的 $\mathbf F = F_x\hat{\mathbf x} + F_y\hat{\mathbf y}$在点 $(x, y)$是由:

$(\text{curl}\mathbf F)\cdot \hat{\mathbf z}= \dfrac{\partial F_x}{\partial x}-\dfrac{\partial F_y}{\partial y}。$

旋度表达式是 $\ mathbf z$旋度的分量。有关旋度矢量的更多信息，请访问:斯托克斯公式

1. 杰斯布鲁尔H。向量场的散度．从检索http://musr.phas.ubc.ca/~jess/hr/skept/Gradient/node4.html