安培的法律

之一麦克斯韦的方程式那Ampère的法律，涉及卷曲磁场到了当前的密度，对于具有高对称性的电流分布特别有用。

这BIOS-SAVART法律需要对许多无穷小电流元素进行求和，从而可以直接计算由载流导线引起的任何磁场配置。与库仑的法律在静电学中，这种类型的总和可以变得非常复杂。

类似于静电，其中高斯的法律允许在磁静磁带中方便地计算具有对称性的系统的电场Ampère的法律可方便地用于确定对称电流元件系统的磁场。

回顾高斯法律的动机（以其一体的形式）发表了区域费用分配与表面上的电场之间的关系（以电通量）。同样，在考虑当前元素的路径时，可以在整个路径上考虑磁场。 $（$在磁耦合，它直观地思考path(而不是表面与静电），因为一个人涉及当前携带path． $）$

正如在高斯表面上计算电量的那样，通过Biot-Savart Lave的替代声明，可以渴望在封闭的定向路径上追求磁场，或者所谓的安培循环．而且，类似地，而不是考虑到高斯表面内包含的总电荷，这里有人认为总电流由一个美国式的圆圈围起来。就像高斯曲面一样，有一个美国式的环也有一个环的方向。一般来说，我们将环的正方向定义为逆时针方向。人们可以通过将右手的手指缠绕在拇指上来记住这一习俗(即所谓的“右手拇指”)。右手规则“）。

要了解这与载流元素之间的关系，请考虑下面所示的大小不同的美洲环。如图所示，一根载流导线(指向页面外)通过每个图。

考虑前两个环上的磁场之和。特别地，让磁场的组件与循环上的每个点相切连续地在每个字段上连续求和，该字段由不可缺少的

$\ int_ \ text {循环} \ mathbf {b} \ cdot d \ mathbf {s}，$

这是一个所谓的线积分．在很多情况下 $（$如常数 $\ mathbf {b} \ cdot d \ mathbf {s}），$不必直接从定义中计算积分。相反，对称性参数可以足以获得积分的值。

在第一个回路中，路径本身非常小，但磁场靠近电线。在它下方的大环中，路径要大得多，但磁场较弱。事实上，由BIOS-SAVART法律，人们知道该领域因恰好削弱了一个因素 $1 / R.$,在那里 $R.$是循环的半径。因此，通过在环路位置处的磁场的强度的降低来完全平衡圆环宽的线性变化。换句话说，磁场在圆环的方向上的总和是

$2 \ r \frac{\mu_0 I}{2 \ r} = \mu_0 I，$

哪个独立于 $R.$．因此，考虑到循环的物理尺寸并不重要，这是不合理的，这与当前无关 $一世$包含在循环中。如果回路距离电流源较远，则回路的路径较长，但相应的场强随路径长度的增加而成比例减小。

人们也可能考虑以下安培循环：

通过前面的推理，两个圆弧段之间的场相互抵消。沿着其中一条弧，环上的场的和等于 $\ mu_0 I.$，而在另一条路上，由于路径的方向相反，总和必须是完全相反的(但大小相同)。此外，沿径向的部分，场的和必须是零，因为场的所有分量都垂直于径向方向。因此，循环域的和为零。在这种情况下，没有电流通过环路的内部，没有净磁场产生时，对环路求和。对于不包含任何当前元素的任何通用循环，也可以使用类似的参数。

事实上，通过与高斯法律进行类比，人们可能会猜想以下内容：

• amperian循环上的磁场的积分与环的几何形状或大小无关。
• 积分只取决于回路中包含的电流。特别地，积分与回路中包含的电流成正比。(此外，根据循环回路的计算，比例常数必须为 $\ mu_0$．）
• 作为推论，当没有电流穿过循环的内部时，积分为零。

这积分形式Ampère的法律可以说明如下。它可以证明相当于Biot-Savart法律。

Ampère的法律（Integlal形式）：

给定一个逆时针方向的闭合回路(美式回路)，其中有总电流 $i_ \ text {句子}$是封闭的,

$文本\ int_{\{循环}}\ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf{年代}= \ mu_0 I_ {encl} \文本。$

与Gauss的法律一样，可用于计算来自现场的总电荷分布，反之亦然，Ampère的法律可用于确定具有一些对称性的情况下的现场或封闭的电流。通常需要一个聪明的安培循环选择来利用给定系统的对称性。

注意，必须注意在相对于电流的方向上正确地定向环路。使用页面中逆时针导向的循环，传出页面的所有电流都是正的，而进入页面的循环是否定的。

电流携带电线的领域：

从电流电流的电流计算磁场 $一世$，我们选择一个圆形的半径循环 $R.$以电线为中心。因为 $\ mathbf {b} \ cdot d \ mathbf {s}$是不变的，它遵循

$B (2\ r) = \mu_0 I，表示B = frac{\mu_0 I}{2\ r}，$

在哪里 $B.$是该领域的大小。

螺线管的磁场:

假设一个人有一个圆柱形电磁，一种绕在圆柱形铁芯上的线圈。电磁阀的侧视图如下所示。如果螺线管(沿着它的轴测量)比它的半径长，那么螺线管内部靠近中间的磁场由于对称性非常接近恒定。

我们选择一个长方形的美国式线圈，这样线圈的一边在螺线管的内部，另一边在螺线管的外面。回路外的侧面可以选择足够远的螺线管，这样它感觉一个可以忽略的磁场。

垂直于螺线管轴的环的两侧集成的磁场必须出现为零，对于沿着它们的路径，两侧都感受到所有相应点的相同场，但在相反的方向上。如果螺线管内的路径侧的长度是 $L.$，然后f提供

$b l = \ mu_0 n我，$

在哪里 $N$是长度的电线的匝数 $L.$．相反，写作 $n = n / l$作为匝数的密度（按单位长度的匝数），一个人有

$b = \ mu_0 n i.$

换句话说，场强只取决于电流和匝数密度，而不是总匝数。

如果选择平行于轴的卧式环路的两侧，则选择驻留在螺线管外部，而是Ampère的法律给予

$b l = 0，$

所以螺线管外面存在零场。

厚电线内的田地：

一个厚的外半径线 $R.$携带稳定的电流在线上均匀分布。如果总电流是电流的情况，导线内外的场和外部是什么 $我吗?$

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我们再次选择一个圆形的半径循环 $R.$以电线的轴为中心。

在线外面 $（r>），$Ampère的定律提供了与标准薄线相同的结果，或者

$b = \ frac {\ mu_0 i} {2 \ pi r}。$

在线内 $（r \ leq r），$封闭的总电流是 $我\大（r ^ 2 / r ^ 2 \ big）$，Ampère的法律给了

$b（2 \ pi r）= \ mu_0 i（r ^ 2 / r ^ 2）\意味着b = \ frac {\ mu_0 i r} {2 \ pi r ^ 2}。$

由于总电流随着额外的增加而增加 $R.$而字段的衰减(对于循环内的当前元素)是按比例发生的 $1 / R.$，场作为一个整体线性增加 $R.$．

表达Ampère的法律当地的形式，可以使用斯托克斯的定理重写线路积分 $\ int \ mathbf {b} \ cdot d \ mathbf {s}$就…而言表面积分的卷曲的 $\ mathbf {b}$：

$\ int_ \ text {循环} \ mathbf {b} \ cdot d \ mathbf {s}} = \ int_ \ text {surface} \ nabla \ times \ mathbf {b} \ cdot d \ mathbf {a}。$

但ampère的法律说

$\ int_ \ text {循环} \ mathbf {b} \ cdot d \ mathbf {s} = \ mu_0 i_ \ text {tranc} = \ mu_0 \ int_ \ text {surface} \ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {一种}，$

在哪里 $\ mathbf {j}$是个当前密度．它是当前的广义连续版本 $一世$．当然，可以在任何选择的封闭表面上采取两个方程中的表面积分，因此整合和必须等于：

$\ nabla \ times \ mathbf {b} = \ mu_0 \ mathbf {j}。$

这就是所谓的微分形式它用微分算子，旋度，来表示Ampère定律。

在什么是物理胜利之一，也许是牛顿和爱因斯坦的时代之间最辉煌的Maxwell，迈出了ampère的法律的“天真”形式必然是不充分的，或者在至少，不是完全广泛的。事实证明，类似于法拉第定律在这种情况下，时变的磁场产生电场，时变的电场也产生磁场。换句话说，磁场中的正旋度不仅可以是稳态电流的结果，也可以是时变电场的结果。

Maxwell增加了一个名为the流离失所代表时变电场的贡献 $\ nabla \ times \ mathbf {b}$．他推理的额外术语的规模必须是 $\epsilon_0 \partial \mathbf{E}/\partial t$．在这种情况下，Ampère的法律读了

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{partial \mathbf{E}}{partial t}。$

这是Ampère定律的完整形式，包含了麦克斯韦的修正。有时它被称为Ampère-Maxwell定律，尽管大多数时候它被简单地称为“Ampère的定律”。通常情况下，时间是很清楚的 $\ frac {\ partial \ mathbf {e}} {\ partial t}$在给定的问题中是相关的，因此无论是指的是指幼稚或修改的ampère的法律形式都没有模糊性。

要确定，在实践附加术语的规模 $\ mu_0 \ epsilon_0 \ partial \ mathbf {e} / \ partial t$足够小，以便被忽略。要了解为什么，请注意电磁波的速度是

$c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_0 \ mu_0}}，$

也可以写作

$\ nabla \ times \ mathbf {b} = \ mu_0 \ mathbf {j} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ mathbf {e}} {\ partial t}。$

一般来说， $\ partial \ mathbf {e} / \ partial t$远小于 $c ^ 2$，因此该术语不容易实验测量。

麦克斯韦附加项的重要性在于它允许我们做下面的事情。为简单起见，假设有一个电场所在的空间区域 $前任）$非零是否只在 $Z.$轴和磁场 $B (x)$非零是否只在 $y$-轴，这样两者都是的函数 $X$只要。然后法拉第的法律给予

$\ frac {\ partial e} {\ partial x} = - \ frac {\ partial b} {\ partial t}。$

虽然 $\ mathbf {j} = 0$，随着额外的术语，现在给予安培的法律

$\ frac {\ partial b} {\ partial x} = - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial e} {\ partial t}。$

采用第一个方程的部分衍生相对于 $X$第二个是关于 $T.$收益率

$\ begin {对齐} \ frac {\ partial ^ 2 e} {\ partial x ^ 2}＆= - \ frac {\ partial ^ 2 b} {\ partial x \ partial t} \\ \ frac {\ partial ^ 2b} {\ partial t \ partial x}＆= - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 e} {\ partial t ^ 2}。\结束{对齐}$

因此,

$\ frac {\ partial ^ 2 e} {\ partial x ^ 2} = \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 e} {\ partial t ^ 2}。$

这个方程具有解决方案 $前任）$ $\大（$和相应的解决方案 $b（x）\ big）$这代表旅行电磁波．事实上，刚刚推导出来的方程和经典方程的形式是一样的波浪方程在一个维度。换句话说，电力和磁场的电力和磁场定律作为波浪行进，但只有当麦克斯韦尔的位移当前术语被添加到Ampère的法律中。实际上，Maxwell是第一个提供经典电磁波的理论解释，并且在这样做，计算光速。

（一般解决方案包括线性组合正弦组分，如下所示。）

[1]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学．第四版。皮尔逊，2014年。

[2] Purecell，即电力和磁力．第三版。剑桥大学出版社，2013年出版社。