麦克斯韦方程
积分形式
的洛伦兹定律,在那里 而且 分别是电荷粒子的速度,定义了电场 而且磁场 通过指定总电磁力 作为
从本质上说,一个人拿走了与移动电荷相互作用产生的电磁力的一部分( )为磁场,另一部分为电场。
高斯定律:最早被发现的麦克斯韦四方程(以等价形式)库仑定律)是高斯定律.在其积分形式在国际标准单位,它说明总电荷包含在a封闭曲面与总数成正比电通量(场法向分量之和)穿过表面:
比例常数在哪里 的倒数电常数.总电荷用电荷密度表示 对一个区域积分。
高斯磁力定律:虽然磁偶极子可以产生类似的磁通,它具有类似的数学形式,不存在等价的磁单极子,因此整个空间的总“磁荷”必须为零。因此,高斯磁力定律读起来简单
法拉第定律:电场和磁场随着时间的推移而相互交织。在1820年代,法拉第发现磁通量的变化会在闭环上产生电场。这个关系现在被称为法拉第定律:
安培定律:最后,安培定律表明通过表面的稳定电流会导致磁场(用通量表示)。此外,麦克斯韦还确定了那快速变化的电通量 也会导致磁通量的变化。总的来说,Ampère的麦克斯韦修正定律成立
总之,
- 高斯定律:
- 高斯磁力定律:
- 法拉第定律:
- 安培定律:
在它们的积分形式中,麦克斯韦方程组可以用来对一个区域的电荷或电流进行表述。
微分形式
为了对空间中个别点的麦克斯韦方程组进行局部表述和计算,我们可以将麦克斯韦方程组改写为微分形式,它使用微分算子div而且旋度.
高斯定律的微分形式:的散度定理认为封闭曲面上的曲面积分可以写成区域内散度的体积积分。因此,
既然这个命题对所有闭曲面都成立,那么被积函数一定是相等的,因此
(高斯磁力定律微分形式的推导是相同的。)
Ampère定律的微分形式:一个可以使用斯托克斯公式重写一下线积分 关于曲面积分的旋度的
Ampère的定律是这样说的
当然,两个方程的曲面积分都可以取任意选择的封闭曲面,因此被积函数必须相等:
法拉第定律的微分形式:它遵循法拉第定律的积分形式
与Ampère定律一样,我们可以在左边调用Stokes定理来等同两个被积函数:
同样,有人认为,既然这种关系必须适用于任何任意曲面 ,两个被积函数必须相等,因此
综上所述,结果如下:
- 高斯定律
- 高斯磁力定律
- 法拉第定律
- 安培定律
电磁波
通过将麦克斯韦的四个方程组合在一起,并对Ampère定律进行修正,麦克斯韦能够证明电磁场可以以行波的形式传播。换句话说,麦克斯韦方程组可以组合成a波动方程.麦克斯韦的洞见是物理学最伟大的理论胜利之一。这个结果的简单示意图如下:
为了简单起见,假设有一个空间区域电场在其中 非零仅仅是沿着 -轴和磁场 非零仅仅是沿着 -轴,使两者都是的函数 只有。法拉第定律给出了
尽管 ,加上附加项,安培定律给出
对第一个方程求偏导 第二个是关于 收益率
因此,
这个方程有解 对应的解 代表旅行的电磁波.事实上,刚刚推导出来的方程和经典方程的形式是一样的波动方程在一个维度。换句话说,电和磁定律允许电场和磁场以波的形式传播,但前提是在Ampère定律中加入麦克斯韦修正。的确,麦克斯韦是第一个对经典电磁波给出理论解释的人,在此过程中,计算光速。
一般的解决方案包括线性组合如下图所示。)
参考文献
[1]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学.第四版。皮尔森,2014年。
[2]珀塞尔,。电和磁.第三版。剑桥大学出版社,2013年。