功能术语GydF4y2Ba

一种GydF4y2Ba函数GydF4y2Ba一组输入(称为GydF4y2Ba领域GydF4y2Ba）和允许的一组输出（称为GydF4y2Ba域GydF4y2Ba)，以便每个输入与一个输出确切相关。我们经常用表示一个变量上的函数GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$．什么时候GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$是域的一个元素，我们说输出的值是GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

• 函数GydF4y2Ba函数是域中每个元素与上域中唯一元素之间的关系。这是表示的GydF4y2Ba $f \ colon x \ lightarrow yGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
• 领域GydF4y2Ba：函数的域是该函数的输入集。这是表示的GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
• 域GydF4y2Ba：函数的Codomain是所有允许输出的集合。这是表示的GydF4y2Ba $Y。GydF4y2Ba$
• 范围GydF4y2Ba:函数的范围是所有已达到的输出的集合。根据定义，值域是上域的子集。这是表示的GydF4y2Ba $f (X)GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
• 图像的GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$:一组图像GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$是否所有已达到的输出的集合，其输入是集合中的元素GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$．这是表示的GydF4y2Ba $\ text {im}（a）= \ {\，y \在y \ mid \中存在一个，f（a）= y \，\}。GydF4y2Ba$
• 作文GydF4y2Ba:由两个函数组成GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$用GydF4y2Ba $F \ CIRC G.GydF4y2Ba$．为了使这个函数得到很好的定义GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$一定是定义域的子集GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
• 元素逆GydF4y2Ba：元素的倒数GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$是所有可能值的集合吗GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$这样GydF4y2Ba $f（x）= yGydF4y2Ba$．这是表示的GydF4y2Ba $f(x) = y ^{-1} (y) = \{\， x \in x \midGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
• 图GydF4y2Ba：函数的图形是所有有序对的集合GydF4y2Ba $（x，f（x））GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba
• 注射器GydF4y2Ba内射函数是将定义域中的每一个值映射到上域中唯一的值的函数，这样对于定义域中的任何给定值，在定义域中只有一个对应的值。单射函数也称为“一对一”函数。GydF4y2Ba
• 调查GydF4y2Ba：一个覆盖Codomain中的每个元素的功能功能，使得Codomain中没有元素不是该功能的值。在某种程度上，该范围和Codomain将是相同的。GydF4y2Ba
• 基点GydF4y2Ba：双重函数既是注射的和形状。GydF4y2Ba

请注意，域和Codomain不需要总是是实数集。使用的其他常见集是复数，正整数，人，矩阵，图形等。例如，考虑该功能GydF4y2Ba ${公民}\文本(\ cdot)GydF4y2Ba$这将作为输入辉煌的学生的名称，并输出该学生的公民身份国家。在这种情况下，域名是辉煌学生的名称集，而Codomain是该集团的一组国家。为了使这是一个真正的职能，我们必须假设学生是一个只有1个国家的公民。为了应对双重公民身份的可能性，我们必须为我们的Codomain添加一对国家。GydF4y2Ba

我们肯定可以将无关项目添加到Codomain，如{alligator}，{purple}和{calvin}。因此，我们定义了GydF4y2Ba范围GydF4y2Ba函数(也称为GydF4y2Ba图片GydF4y2Ba）成为所有输出的集合。注意，根据定义，函数的范围必须是Codomain的子集。GydF4y2Ba

这是数学上的简写(因为数学家们都很懒)GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$是来自set的功能GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$设置GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $f\: A \到BGydF4y2Ba$．例如，自从GydF4y2Ba $\ mathbb {c}GydF4y2Ba$代表复数，GydF4y2Ba $\ mathbb {z}GydF4y2Ba$表示整数，和GydF4y2Ba $\ mathbb {N}GydF4y2Ba$代表正整数，GydF4y2Ba $f \ colon \ mathbb {c} \ to \ mathbb {n}GydF4y2Ba$指一个从复数集合到正整数集合的函数。因为我们主要处理实数的函数，如果定义域和上定义域没有明确地表述(或从设置中立即看出)，就假定它们是实数的集合，GydF4y2Ba

虽然域和Codomain是相同的集合，但重要的是在两者之间进行清晰的区别。Identity函数是集合上的唯一功能，它将每个元素映射到其自身。我们表示这种功能GydF4y2Ba $\ text {id} _a \ colon a \ to aGydF4y2Ba$,在那里GydF4y2Ba $\ text {id} _a（a）= aGydF4y2Ba$对所有元素GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$的GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

如果我们要更改函数的域，那么我们将获得不同的功能。例如，GydF4y2Ba $\ text {id} _ \ mathbb {r} \ colon \ mathbb {r} \ to \ mathbb {r}GydF4y2Ba$是一个非常不同的功能GydF4y2Ba $\ text {id} _ \ mathbb {n} \ colon \ mathbb {n} \ to \ mathbb {n}GydF4y2Ba$．这是因为我们有GydF4y2Ba $\文本{id} _ \ mathbb {r}（0.5）= 0.5GydF4y2Ba$,而GydF4y2Ba $\ text {id} _ \ mathbb {n}（0.5）GydF4y2Ba$这没有任何意义。因此，我们说有两个函数GydF4y2Ba $f\: A \到BGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g \ colon c \ to dGydF4y2Ba$是相等的,如果GydF4y2Ba $C =GydF4y2Ba$对于所有的值GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba $f (a) = g (a)GydF4y2Ba$．Codomain不太重要，因为我们之前的观察结果我们可以在不影响该功能的本质的同时添加任意元素。GydF4y2Ba

给出一个功能GydF4y2Ba $f\: A \到BGydF4y2Ba$和任何子集GydF4y2Ba $C \子集aGydF4y2Ba$，我们说图像的形象GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是所有值的集GydF4y2Ba $f（c）GydF4y2Ba$,在那里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$．给出一个子集GydF4y2Ba $B D \子集GydF4y2Ba$，我们说它的原像GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba$是所有值的集GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba$．用这个术语，我们说值域是定义域的像。实际上，值域是上域中我们真正关心的部分，这就是为什么我们只关注值域。GydF4y2Ba

当域是真实数字集时，我们想想到GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$作为函数的图表。相反，给定任何图形，它是一个函数，如果每个图GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$-Value最多对应1GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$-价值。这样的图必须通过垂直线路测试：每个垂直线最多1点切割图。GydF4y2Ba

如果我们想要找到所有可能的输入，给出一个特定的输出呢?例如，如果我想知道谁是印度公民中的优秀学生，我要的是满足要求的学生名单GydF4y2Ba $\文本{CITIZEN}（\ CDOT）= \ TEXT {印度}。GydF4y2Ba$函数的反函数不一定总是函数(如本例)。为了使逆函数成为一个实际的函数，原始函数需要通过水平线测试:每一条水平线最多在图上切1点。GydF4y2Ba

如果逆是一个函数，我们将其表示为GydF4y2Ba $f ^ { - 1}GydF4y2Ba$．什么是定义域和上域GydF4y2Ba $f ^ { - 1}GydF4y2Ba$？我们能取上域中任意值的逆吗?我们当然可以，尽管这可能没有意义。例如，GydF4y2Ba $文本\{公民}^{1}(\文本{卡尔文})GydF4y2Ba$无效。因此，我们经常将我们的注意力限制在仅仅是原始功能的范围（如您召回的是域的图像）。逆的复古是什么？这将是该范围的预图像。请注意，范围的预图像不需要是整个域GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

如果逆函数不是函数，我们可以把注意力限制在定义域的一个子集上。具体来说,如果GydF4y2Ba $f\: A \到BGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $C \子集aGydF4y2Ba$，则定义函数GydF4y2Ba $f | _c \ colon c \ to bGydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba $F | _c（c）= f（c）GydF4y2Ba$对于所有价值GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$．例如，函数GydF4y2Ba $s \ colon \ mathbb {r} \ to \ mathbb {r}GydF4y2Ba$给出的GydF4y2Ba $s（x）= x ^ 2GydF4y2Ba$没有反函数，因为它不满足水平线测试。然而,由于GydF4y2Ba $R S | _ {{\ mathbb {} \ leq 0}}GydF4y2Ba$确实满足水平线测试，它具有逆。在这种情况下，我们知道GydF4y2Ba $S|_{{mathbb{R}\leq 0}} ^{-1} (x) = -根号{x}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

函数是GydF4y2Ba内射GydF4y2Ba(一对一)GydF4y2Ba $f (a_1) \ neq f (a₂)GydF4y2Ba$对于任何2个不同的元素GydF4y2Ba $A_1，A_2GydF4y2Ba$在域名。函数是GydF4y2Ba调查GydF4y2Ba(或onto) if为每个元素GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$在Cocomain中，存在一个元素GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$在这样的领域中GydF4y2Ba $f (a) = bGydF4y2Ba$．如果它既是注射和形状的话，则函数是天真的。利用这种术语，重点函数具有函数的逆。一个自由度的功能GydF4y2Ba $f\: A \到BGydF4y2Ba$有一个逆函数(根据之前的观察是一个函数)它的定义域是什么GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

现在我们已经建立了这个词汇，我们可以谈谈GydF4y2Ba作品GydF4y2Ba功能。您可能并不总是能够撰写2个功能。例如，GydF4y2Ba $\文本{CITIZEN} \ CIRC \ TEXT {CITIZEN}GydF4y2Ba$不管我们怎么做，都没有任何意义。让我们来了解一下如何使函数组合工作。GydF4y2Ba

假设我们有两个函数GydF4y2Ba $f \: A \到BGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g \ colon c \ to dGydF4y2Ba$,什么时候GydF4y2Ba $g \保监会fGydF4y2Ba$有意义吗?鉴于任何值GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$在域A中，我们必须能够应用GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$价值GydF4y2Ba $f (a)GydF4y2Ba$．因此，这意味着GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$一定是?的子集GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$．通过这种情况，我们可以定义GydF4y2Ba $g \ circ f \ colon a \ to dGydF4y2Ba$等于GydF4y2Ba $(g \circ f) (a) = g (f(a))GydF4y2Ba$．请注意，组合的顺序很重要，因为我们可能无法定义GydF4y2Ba $F \ CIRC G.GydF4y2Ba$，除非我们进一步了解GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba$是一个子集GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

让GydF4y2Ba $X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $Y ={2,4,6,8,10 \}。GydF4y2Ba$对于给定的一对GydF4y2Ba $（a，b）GydF4y2Ba$的数字,让GydF4y2Ba $f（a）= b。GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$一个功能GydF4y2Ba $f\: X \到YGydF4y2Ba$对于以下一组：GydF4y2Ba

$\{(1、2),10(2),(3、4),(4,4),(5,3),(6,3)(7,4),(2)\}?GydF4y2Ba$

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为了GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$要成为一个函数，必须满足以下条件：GydF4y2Ba

1. $FGydF4y2Ba$对域中的每个元素求值;GydF4y2Ba
   $\ Rightarrow fGydF4y2Ba$从1到8有他们自己的评价(满意)。GydF4y2Ba
2. $FGydF4y2Ba$仅针对域中的每个元素进行一次评估;GydF4y2Ba
   $\ Rightarrow fGydF4y2Ba$从1到8，每个只有一个输出(满足)。GydF4y2Ba
3. 的输出GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$应该是Codomain的元素;GydF4y2Ba
   $\ lightarrow f（5）= f（6）= 3 \投入yGydF4y2Ba$（不满意）。GydF4y2Ba

条件3不满足，所以GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$不是一个函数GydF4y2Ba $f: X \右转y \ _\平方GydF4y2Ba$

让GydF4y2Ba $x = \ {\，x \ mid 0 \ le x \ le 3，x \ in \ mathbb {z} \，\}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $y = \ mathbb {z}，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $\ mathbb {z}GydF4y2Ba$是整数集。什么时候GydF4y2Ba $f（x）= 2x + 1，GydF4y2Ba$图像中所有元素的总和是多少？GydF4y2Ba $F？GydF4y2Ba$

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我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} f（0）＆= 1 \\ f（1）＆= 3 \\ f（2）＆= 5 \\ f（3）＆= 7。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

因此，图像的形象GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\ {1,3,5,7 \}，GydF4y2Ba$所以答案是GydF4y2Ba $1 + 3 + 5 + 7 = 16。GydF4y2Ba$ $_\正方形GydF4y2Ba$

让GydF4y2Ba $x = y = \ mathbb {r}。GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $f (x) = x ^ 2GydF4y2Ba$调整功能？GydF4y2Ba

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实数的平方为正或零。因此，取值范围GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$小于GydF4y2Ba $Y,GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$不是一个满射函数。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$