组织行为gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba群体行动gydF4y2Ba是a元素的表示gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba作为一个集合的对称性。许多群体都有一种自然的群体行为来自于它们的结构;例如二面体群gydF4y2Ba 作用于一个正方形的顶点,因为群是作为正方形的一组对称给出的。一个群体在一个集合上的群体行为是这一思想的抽象概括,它可以用来导出关于群体及其所作用的集合的有用事实。gydF4y2Ba
正式地说,是一群人的集体行动gydF4y2Ba 在一组gydF4y2Ba 是一个函数gydF4y2Ba 满足下列性质:gydF4y2Ba
(1)gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba
(2)gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba
当动作明确时,功能gydF4y2Ba 通常被写成gydF4y2Ba 有了这个符号,公理就变成gydF4y2Ba
(1)gydF4y2Ba
(2)gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
群体行动的标准例子是当gydF4y2Ba 等于gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba 的一个子组gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba .然后gydF4y2Ba 作用于gydF4y2Ba 由公式gydF4y2Ba 性质明确:gydF4y2Ba 当gydF4y2Ba 就是gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba
定点,轨道,稳定器gydF4y2Ba
下面是与群体行动相关的几个基本概念。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 成为一个在片场表演的团体gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba不动点gydF4y2Ba的一个元素gydF4y2Ba 是一种元素gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba
的gydF4y2Ba稳定剂gydF4y2Ba 的一个点gydF4y2Ba 元素的集合gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 是固定的点吗gydF4y2Ba
的gydF4y2Ba轨道gydF4y2Ba的一个元素gydF4y2Ba 元素的集合gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba 对于一些gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 采取行动gydF4y2Ba 由公式gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba的每一个元素的不动点gydF4y2Ba
的每一个元素的稳定器gydF4y2Ba
求元素的轨道gydF4y2Ba
每个元素的gydF4y2Ba 是固定的点吗gydF4y2Ba 但gydF4y2Ba 有一个固定的点,即gydF4y2Ba
的稳定剂gydF4y2Ba 是所有的gydF4y2Ba 但任何其他元素的稳定剂gydF4y2Ba 是平凡子群吗gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba
的轨道gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba 以及其他元素的轨道gydF4y2Ba 是二元素集吗gydF4y2Ba
请注意,gydF4y2Ba 被分割为其不同的和不相交的轨道的联合。这在一般情况下是正确的;它遵循这样一个事实,即由gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba 在的轨道上gydF4y2Ba 是一个gydF4y2Ba等价关系gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
与这些定义相关的某些公共属性出现在许多组操作中。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 成为一个在片场表演的团体gydF4y2Ba
行动是gydF4y2Ba传递gydF4y2Ba如果只有一个轨道:对于任何gydF4y2Ba 有一个元素gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba
行动是gydF4y2Ba忠实的gydF4y2Ba如果是稳定器的交点gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba 只包含琐碎的元素gydF4y2Ba
群体行为的公理给出了一个gydF4y2Ba群同态gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 元素的排列组合是gydF4y2Ba 那么,一个忠实的行为,就是具有同态性的行为gydF4y2Ba内射gydF4y2Ba,因为它gydF4y2Ba内核gydF4y2Ba是微不足道的。gydF4y2Ba
行动的例子gydF4y2Ba
有很多例子,一个群体gydF4y2Ba 作用于相关的对象上gydF4y2Ba 下面是一些例子:gydF4y2Ba
(1)每一群通过左乘法作用于自身:gydF4y2Ba 作用于gydF4y2Ba 通过这个公式gydF4y2Ba 这是一种传递和忠实的行为;有一个轨道,实际上是任何元素的稳定器gydF4y2Ba 很简单:gydF4y2Ba 当且仅当gydF4y2Ba 是身份。gydF4y2Ba
每一个群体都是通过gydF4y2Ba动词的词形变化gydF4y2Ba:gydF4y2Ba 作用于gydF4y2Ba 通过这个公式gydF4y2Ba 这个运动的轨道叫做gydF4y2Ba共轭性类gydF4y2Ba,和元素的稳定器gydF4y2Ba 被称为gydF4y2Ba扶正器gydF4y2Ba
(3)如果gydF4y2Ba 是一个gydF4y2Ba子群gydF4y2Ba的gydF4y2Ba 然后gydF4y2Ba 在片场表演gydF4y2Ba叠合组gydF4y2Ba 离开了乘法。该动作是可传递的,因为gydF4y2Ba 对于任何gydF4y2Ba 这引出了一个映射gydF4y2Ba 哪个核等于所有共轭的交集gydF4y2Ba 其中最大的正规子群是哪个gydF4y2Ba 因此,如果gydF4y2Ba 不包含任何非平凡的正规子群,动作忠实。这种结构在分析gydF4y2Ba简单的组gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 是射影复线:这可以被认为是复数加点的集合gydF4y2Ba 然后该组织gydF4y2Ba 的可逆的gydF4y2Ba 具有复项的矩阵作用于gydF4y2Ba 通过这个公式gydF4y2Ba
我们都知道gydF4y2Ba 映射到gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 映射到gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba 然后gydF4y2Ba 映射到gydF4y2Ba
检验这是否是一个群体行为可以归结为下面第二个公理的计算:gydF4y2Ba
和矩阵gydF4y2Ba 是产品gydF4y2Ba 这表明这是一个群体行为。gydF4y2Ba
注意矩阵gydF4y2Ba 在射影线上的作用很小,因为gydF4y2Ba 所以动作gydF4y2Ba 变成一个动作gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 是矩阵的子组它是单位矩阵的常数倍。这个基团叫做gydF4y2Ba射影gydF4y2Ba一般线性群gydF4y2Ba 的作用gydF4y2Ba 是忠实的,也是可传递的。(事实上,它是3-传递的:任何包含三个不同点的列表都可以发送到其他包含三个不同点的列表。)gydF4y2Ba
Orbit-stabilizer定理gydF4y2Ba
在群体运动的轨道和稳定器之间有一种自然的关系。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 成为一个在片场表演的团体gydF4y2Ba 修复一个点gydF4y2Ba 考虑函数gydF4y2Ba 给出的gydF4y2Ba 实际上,这给出了一个函数gydF4y2Ba 由同样的公式给出,其中gydF4y2Ba 是稳定器吗gydF4y2Ba 在这里gydF4y2Ba 左余弦的集合是什么gydF4y2Ba 请注意,gydF4y2Ba 不一定是gydF4y2Ba正规子群gydF4y2Ba.所以gydF4y2Ba 只是一套裙装,不是gydF4y2Ba商集团gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这个函数gydF4y2Ba 是内射的,而它的象恰恰是轨道的gydF4y2Ba 结论如下:gydF4y2Ba
在集合之间有一个双射gydF4y2Ba 轨道gydF4y2Ba
当轨道gydF4y2Ba 是有限的,这给出了以下公式:gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 成为一个在片场表演的团体gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba 成为元素的稳定器gydF4y2Ba 假设轨道gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba 是有限的。然后该指数gydF4y2Ba 是有限的,等于gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba 是有限的,那么gydF4y2Ba
这个定理被用来证明群论中许多有用的事实,包括gydF4y2Ba伯恩赛德引理gydF4y2Ba和gydF4y2Ba类公式gydF4y2Ba.下面是该定理的两个显式例子。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba ,让gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba 的轨道gydF4y2Ba 是所有的gydF4y2Ba (动作是传递的)所以定理说指标gydF4y2Ba 等于gydF4y2Ba 的确,gydF4y2Ba 是同构的gydF4y2Ba 排列的一组gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba
一个立方体有多少个旋转对称?(额外字幕:立方体的对称组是什么?)gydF4y2Ba
这个问题问的是在3d空间中通过扭转和旋转(但不反射)来排列立方体的顶点(或面或边)的方法有多少。轨道稳定器定理可以用三种不同的方法来解决这个问题。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 是立方体的对称组。然后gydF4y2Ba 在片场表演gydF4y2Ba 立方体的面。有六个面,动作是传递的,所以是轨道的大小gydF4y2Ba 是某一张脸的gydF4y2Ba 稳定剂的顺序gydF4y2Ba 是4,因为一个立方体有四次旋转固定了一个面(围绕垂直于面的轴旋转)。根据轨道稳定器定理,gydF4y2Ba
但gydF4y2Ba 也作用于一个立方体的顶点。有8个顶点,动作也是可传递的。稳定器的阶数是多少gydF4y2Ba 一个顶点吗?一个立方体的旋转唯一保持一个顶点不变的是旋转三次gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 立方体对角线周围的角度。所以gydF4y2Ba 而且gydF4y2Ba 根据轨道稳定器定理gydF4y2Ba
和gydF4y2Ba 也作用于立方体的边缘。有12条边,动作是传递的。的稳定剂gydF4y2Ba 边的二阶;有一个同一性gydF4y2Ba 和独特的元素gydF4y2Ba 它切换了边的顶点。所以gydF4y2Ba
事实上,gydF4y2Ba 是同构的gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba 同构还使用了另一个动作gydF4y2Ba 也就是gydF4y2Ba 在身体对角线上,有四个。这个作用产生同态性gydF4y2Ba 很容易证明同态是内射的(动作是忠实的),而且群的大小相同,所以它一定是同构的。gydF4y2Ba