共轭性类gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba共轭性类gydF4y2Ba的gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba是一组由共轭运算连接起来的元素。该操作的定义如下:在组中gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$，元素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$如果存在另一种元素，它们是共轭物吗gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $一个= gbg ^ {1}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

共轭类将一个组的元素划分为不相连的子集，这些子集就是共轭类gydF4y2Ba轨道gydF4y2Ba群体的gydF4y2Ba代理gydF4y2Ba通过共轭作用在自身上。群的共轭类可以用来对群进行分类;它们可以用来证明两个群不是同构的，或者发现组之间存在同构的性质。一般来说，一个群中共轭类的大小提供了关于其结构的信息。gydF4y2Ba

下面是共轭性的定义，为了清楚起见，重复一下。gydF4y2Ba

一个元素gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$在一个小组中gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba共轭gydF4y2Ba对一个元素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$如果有gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $A = gbg^{-1}。gydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$或者，有人这样说gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba共轭gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $b。)gydF4y2Ba$

要用群体行动的语言来描述这个问题，请考虑函数gydF4y2Ba $\varphi \冒号G \乘以G \到GgydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba

$\varphi(g,b) = gbg^{-1}。gydF4y2Ba$

然后gydF4y2Ba $\varphi(e,b) = ebe^{-1} = bgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $b,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba

$\ varphi \大(g \ varphi (h, b) \大)= \ varphi \大(g, hbh ^{1} \大)= g \大(hbh ^{1} \大)g ^ {1} = (gh) b \大(h ^ g ^{1}{1} \大)= (gh) b (gh) ^ {1} = \ varphi (gh, b)。gydF4y2Ba$

这表明gydF4y2Ba $\ varphigydF4y2Ba$定义了一个gydF4y2Ba群体行动gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$在本身。gydF4y2Ba

的共轭gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是轨道的成员吗gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$在行动之下。的gydF4y2Ba稳定剂gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$是元素的子群吗gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $gbg ^ {1} = b,gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $gb = bg。gydF4y2Ba$这叫做gydF4y2Ba扶正器gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $b,gydF4y2Ba$元素的子组gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$与…通勤gydF4y2Ba $b。gydF4y2Ba$

如上所述，元素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$如果一个基团中有另一个元素，它们就是共轭的gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $一个= gbg ^ {1}gydF4y2Ba$．事实上，这是一个gydF4y2Ba等价关系gydF4y2Ba．这是从群体行动的一般理论直接得出的，但是直接证明它也是有指导意义的。gydF4y2Ba

共轭关系是等价关系。gydF4y2Ba

有三个属性需要检查:gydF4y2Ba

• 自反性,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$共轭于gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．这是从gydF4y2Ba $一个^ =实验性自身免疫性脑脊髓炎{1}gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$是群的单位元。gydF4y2Ba
• 对称,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$被共轭到gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$意味着gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$被共轭到gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．这是从gydF4y2Ba $a = gbg ^{1} \意味着b = g ^{1} \大(g ^{1} \大)^{1}。gydF4y2Ba$
• 传递性,gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$被共轭到gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$被共轭到gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$意味着gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$共轭于gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$．这是从gydF4y2Ba $A =gbg^{-1}， b=hch^{-1}\表示A =(gh)c(gh)^{-1}。gydF4y2Ba$

由此可见，共轭划分gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$成gydF4y2Ba等价类gydF4y2Ba，并给出共轭类的正式定义。gydF4y2Ba

的共轭类gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是由共轭关系产生的等价类。这是共轭课gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$的子集gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$由相互结合的元素组成的。gydF4y2Ba

等价地，共轭类是的轨道gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$通过共轭作用于自身。gydF4y2Ba

在gydF4y2Ba线性代数gydF4y2Ba，矩阵群gydF4y2Ba ${GL} _n”(\ \文本mathbb {R}gydF4y2Ba$)包含所有gydF4y2Ba $n \ ngydF4y2Ba$带实数的可逆矩阵。在这组中，有两个矩阵gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$如果有一个矩阵是共轭的吗gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $一个= PBP ^ {1}gydF4y2Ba$，对应于gydF4y2Ba矩阵的相似gydF4y2Ba．这一组的共轭类是表示相同的矩阵的集合gydF4y2Ba线性变换gydF4y2Ba在不同的gydF4y2Ba基地gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

在对称群中gydF4y2Ba $S_3gydF4y2Ba$，有3个共轭类:gydF4y2Ba

• 有一种恒等排列，它什么也不做，而且是在它自己的类里。gydF4y2Ba
• 一种是循环排列gydF4y2Ba $美国广播公司gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $bcagydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $美国广播公司gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $出租车gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 最后，还有交换两个元素的排列gydF4y2Ba $美国广播公司gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $bacgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $美国广播公司gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $acbgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $美国广播公司gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $cbagydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

因此有三个共轭类gydF4y2Ba $S_3gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

上一节的最后一个示例说明了共轭类的大小之和必须等于组的大小。这个事实，连同gydF4y2Baorbit-stabilizer定理gydF4y2Ba，可以用来推导一个重要的方程，称为类方程。gydF4y2Ba

回想一下上面的讨论gydF4y2Ba扶正器gydF4y2Ba $C_G (b)gydF4y2Ba$元素的gydF4y2Ba $在G b \gydF4y2Ba$子组是gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$与之交换的元素组成的gydF4y2Ba $b;gydF4y2Ba$它是…的稳定剂gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$关于共轭作用。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是一个有限的群体gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$共轭类，并挑选代表gydF4y2Ba $\ ldots g_k g_1里面gydF4y2Ba$每一类的。然后gydF4y2Ba $|G| = \sum_{i=1}^k \big[G:C_G(g_i)\big]。gydF4y2Ba$或者,假设gydF4y2Ba $g_1里面,\ ldots g_ \ l形gydF4y2Ba$代表了gydF4y2Ba $\ l形的gydF4y2Ba$具有多个元素的共轭类。然后gydF4y2Ba $| G | = | Z (G) | + \ sum_ {i = 1} ^ \魔法\大(G: C_G (g_i)大\],gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $Z (G)gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba中心gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$由与的每一个元素交换的所有元素组成gydF4y2Ba $G。gydF4y2Ba$

$| G |gydF4y2Ba$等于其共轭类的大小之和。轨道稳定器定理说，一个元素的共轭类的大小等于它的稳定器的指数，和的稳定器的指数gydF4y2Ba $g_kgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $C_G (g_k)gydF4y2Ba$如上所述。把这些事实放在一起，立即给出了第一个公式。gydF4y2Ba

第二个公式是第一个公式的直接结果，因为具有一个元素的共轭类精确地对应于中心的元素:gydF4y2Ba $gbg ^ {1} = bgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$当且仅当gydF4y2Ba $gb = bggydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $在g, g \gydF4y2Ba$当且仅当gydF4y2Ba $b \in Z(G)。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

这个公式有不少著名的应用。其中一个在gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$集团gydF4y2Ba维基:一组质数的中心幂阶总是不平凡的。这是另一个。gydF4y2Ba

写出的类方程gydF4y2Ba $A_5。gydF4y2Ba$用它来证明这一点gydF4y2Ba $A_5gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba简单的组gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

---

的要素gydF4y2Ba $A_5gydF4y2Ba$有四种类型:恒等式，两个不相交换位的产物，3循环和5循环。gydF4y2Ba

两个不相交转置的任何乘积都是共轭的gydF4y2Ba $(12) (34)gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $A_5。gydF4y2Ba$证明:让gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$做这样的产品;然后gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$共轭于gydF4y2Ba $(12) (34)gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $S_5。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $G (12)(34) G ^{-1} = hgydF4y2Ba$对于一些gydF4y2Ba $在S_5 g \。gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $在A_5 g \,gydF4y2Ba$然后我们就完成了;否则,如果gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$是奇数，让gydF4y2Ba $G ' = G (12)gydF4y2Ba$请注意gydF4y2Ba $g’(12)(34)(g) ^ {1} = hgydF4y2Ba$还有，还有gydF4y2Ba $g’gydF4y2Ba$是偶数。注意有gydF4y2Ba $10 \cdot \frac32 = 15gydF4y2Ba$这种形式的元素。gydF4y2Ba

任何3环都是共轭的gydF4y2Ba $(123)gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $A_5。gydF4y2Ba$证明:同上;如果gydF4y2Ba $G (123) G ^{-1} = h，gydF4y2Ba$然后要么gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $g ' = g (45)gydF4y2Ba$它们都是偶的共轭吗gydF4y2Ba $(123)gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $h。gydF4y2Ba$注意有gydF4y2Ba $\binom{5}{3} \cdot 2 = 20gydF4y2Ba$这种形式的元素。gydF4y2Ba

另一方面，两个共轭的5环gydF4y2Ba $S_5gydF4y2Ba$可能不是共轭在gydF4y2Ba $A_5。gydF4y2Ba$事实上，不可能所有的5个环都共轭gydF4y2Ba $A_5,gydF4y2Ba$因为有gydF4y2Ba $24gydF4y2Ba$其中，一个共轭类的大小必须划分gydF4y2Ba $60.gydF4y2Ba$因为有24个5周期gydF4y2Ba $S_5,gydF4y2Ba$5-环的扶正器gydF4y2Ba $S_5gydF4y2Ba$有大小gydF4y2Ba $5，gydF4y2Ba$因此必须只包含5循环的幂。这在gydF4y2Ba $A_5,gydF4y2Ba$所以5环的共轭类必须有大小gydF4y2Ba $\frac{60}5 = 12。gydF4y2Ba$

把这些放在一起，类方程gydF4y2Ba $A_5gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$60 = 1 + 15 + 20 + 12 + 12。gydF4y2Ba$

的任意正规子群gydF4y2Ba $A_5gydF4y2Ba$一定是其中一些共轭类的并集gydF4y2Ba $A_5。gydF4y2Ba$所以它的类方程会给出它的阶数是上面这些项的某个子集的和，包括gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$(因为它必须包含标识)。固有正规子群的阶是的固有非平凡除数gydF4y2Ba $60.gydF4y2Ba$但是没有办法把其他四项的任何子集加起来，加上gydF4y2Ba $1，gydF4y2Ba$得到一个合适的非平凡除数gydF4y2Ba $60.gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $A_5gydF4y2Ba$没有非平凡的固有正规子群;所以很简单。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$