伯恩赛德引理gydF4y2Ba

伯恩赛德引理gydF4y2Ba是一个结果gydF4y2Ba群理论gydF4y2Ba这在考虑对称性的情况下计算物体时很有帮助。它给出了一个计算对象的公式，其中两个因对称(例如旋转或反射)而相关的对象不被视为不同的对象。gydF4y2Ba

伯恩赛德引理给出了一种计算的方法gydF4y2Ba轨道gydF4y2Ba有限集的gydF4y2Ba付诸行动gydF4y2Ba用一个有限的群。gydF4y2Ba

伯恩赛德引理:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$做一个在集合上活动的有限群体gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$．让gydF4y2Ba $X / GgydF4y2Ba$是轨道的集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$的每一个元素gydF4y2Ba $X / GgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba $X)。gydF4y2Ba$对于任何一个元素gydF4y2Ba $在g, g \gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $X ^ ggydF4y2Ba$的集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$由gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $X^g = \{X \in X \冒号g \cdot X = X \}。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba

$X / G \ displaystyle {| | = \ frac1 {| G |} \ sum_ {G \ G} | X ^ G |}。gydF4y2Ba$

也就是说，轨道数是不动点的平均数gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

主要文章:gydF4y2Ba组织行为gydF4y2Ba

要理解伯恩赛德的引理，我们需要理解对称群和群作用。下面是一些概念和定义的摘要gydF4y2Ba组织行为gydF4y2BaWiki，这里重复一遍是为了方便。gydF4y2Ba

作为一个非正式的定义，agydF4y2Ba集团gydF4y2Ba是一个数学对象，由满足某些属性的集合和操作组成。群概括了我们所知道的许多结构;例如，整数和加法运算一起组成一个组。然而，群体比这更普遍;例如，“旋转通过。gydF4y2Ba $x ^ \保监会gydF4y2Ba$运算和合成运算也组成一个组。gydF4y2Ba

对于正式的定义，gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba是有序的一对gydF4y2Ba $(G +)gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是一个非空集和gydF4y2Ba $+: G \ * G \to GgydF4y2Ba$双参数函数是否打开gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$满足以下几点:gydF4y2Ba

• 结合性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $(a + b) + c = a + (b + c)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $a、b、c、G。gydF4y2Ba$
• 单位元素gydF4y2Ba:存在gydF4y2Ba $在G 0 \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $0+a = a+0 = agydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $在G \。gydF4y2Ba$
• 逆元gydF4y2Ba:每一个gydF4y2Ba $在G \gydF4y2Ba$，则存在逆函数gydF4y2Ba $——在G \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $A +(-a) = (-a)+ A = 0gydF4y2Ba$

一个gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba是否一个组，其元素是某些对象上的转换，其操作是组合操作gydF4y2Ba $\保监会gydF4y2Ba$．(这类似于gydF4y2Ba组成的函数gydF4y2Ba)。例如，上面的“rotate by”示例是一个对称组，因为元素是可以应用于对象的转换，而操作是组合操作。gydF4y2Ba

一个对称群在技术上被写成gydF4y2Ba $(G \保监会)gydF4y2Ba$变换集和复合运算都是显式写的，但通常人们认为复合运算是隐含的，所以对称群通常写得很简单gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$即它所具有的变换集。gydF4y2Ba

对称群可以gydF4y2Ba行为gydF4y2Ba在一组对象上。非正式地说，这基本上意味着组中的每个元素将一个对象转换为另一个对象。例如，如果我们有符号“6”，我们可以应用元素“rotate by”gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$对它，把它变成“9”。gydF4y2Ba

对于正式的定义，gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$对称群是否具有单位元gydF4y2Ba $\εgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是一套，那一套gydF4y2Ba(左)小组行动gydF4y2Ba $\ varphigydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $G \乘以XgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$满足以下几点:gydF4y2Ba

• 标识属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\varphi(\epsilon, x) = xgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$
• 复合属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\varphi(g \circ h, x) = \varphi\大(g， \varphi(h, x)\大)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $g, g h \gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$

通常,gydF4y2Ba $\ varphi (g, x)gydF4y2Ba$表示为gydF4y2Ba $g \ cdot xgydF4y2Ba$，并省略复合运算符，它执行以下语句:gydF4y2Ba

• 标识属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\epsilon \cdot x = xgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$
• 复合属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $g, g h \gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$

例如,假设gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是所有边色为红色和/或蓝色的单位方格的集合。我们可以用"rotate by "gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$(顺时针)”，把左边的正方形给右边的正方形:gydF4y2Ba

如果一个群作用于一个集合，我们可以讨论不动点和轨道，这是伯恩赛德引理中用到的两个概念。不动点可与函数中的类似概念相媲美。一个物体的轨道就是这个物体变换后的所有可能结果。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是作用于集合上的对称群gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

为一个元素gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$,一个gydF4y2Ba不动点gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是一种元素gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $g。x = xgydF4y2Ba$；也就是说,gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$组操作不变。的所有不动点的集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$关于gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$通常是表示gydF4y2Ba $X ^ ggydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

为一个元素gydF4y2Ba $x x \gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba轨道gydF4y2Ba $G。xgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是一组gydF4y2Ba $\ {g。x | g \in g \}gydF4y2Ba$；也就是变换的所有可能结果gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

群论的一个结果表明，轨道gydF4y2Ba分区gydF4y2Ba一组gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$；也就是说,如果gydF4y2Ba $在X \gydF4y2Ba$有轨道gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$的所有元素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$也有轨道gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，对于每个元素gydF4y2Ba $“不\ \gydF4y2Ba$的轨道gydF4y2Ba $一个“gydF4y2Ba$没有任何共同的元素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．因此，讨论轨道数是有意义的:gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba的轨道gydF4y2Ba $X / GgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$受到gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\ {G。x \in x \}gydF4y2Ba$；也就是说，它是所有元素的轨道集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$，不包括重复。的gydF4y2Ba数量的轨道gydF4y2Ba仅仅是它的基数吗gydF4y2Ba $| | X / GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这些都是理解伯恩赛德引理所需要的定义。gydF4y2Ba

伯恩赛德引理常用于物体的计数，其中对称性应予以考虑。考虑下面的例子。gydF4y2Ba

正方形的边被涂上红色或蓝色。有多少种不同的安排gydF4y2Ba

1. 考虑一种可以通过旋转从另一种颜色得到的颜色gydF4y2Ba不同的gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba
2. 考虑一种可以通过旋转从另一种颜色得到的颜色gydF4y2Ba相同的gydF4y2Ba?gydF4y2Ba

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对于第一个问题，这很简单。由于不考虑对称性，我们可以简单地使用通常的计数方法。每条边都有两种可能的选择，所有这些都是独立的，所以我们可以把所有东西相乘:gydF4y2Ba $2 ^ 4 = 16gydF4y2Ba$四。gydF4y2Ba

第二个问题要困难得多，因为我们需要小心，不要重复计算通过旋转得到的东西。我们可以尝试个案分析:gydF4y2Ba

• 所有的红色都是一体的。所有的蓝色也是一。gydF4y2Ba
• 一个红色(其余的蓝色)有四种可能，它们都可以通过旋转彼此获得。因此这里只有一种独特的颜色。gydF4y2Ba
• 一个蓝色(其余的红色)也只有一种独特的颜色。gydF4y2Ba
• 两红两蓝，有两种可能。这些红色要么是相邻的，有四种颜色，但都是相同的，要么不是，只有两种颜色，但也是相同的。这个箱子给了我们两种独特的颜色。gydF4y2Ba

总的来说，有gydF4y2Ba $1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6gydF4y2Ba$这种色素:gydF4y2Ba

但是，我们可以把伯恩赛德的引理应用到这里。gydF4y2Ba

该集团gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是由四个元素组成的:“旋转由?gydF4y2Ba $0 ^ \保监会gydF4y2Ba$”、“旋转gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$”、“旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$和“旋转”gydF4y2Ba $270 ^ \保监会gydF4y2Ba$”(顺时针)。gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$这个基团也被称为4阶循环基团，或者gydF4y2Ba $C_4)。gydF4y2Ba$一组gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$包含所有gydF4y2Ba $2 ^ 4 = 16gydF4y2Ba$如果我们假设旋转是不同的颜色(如第一个问题)。现在，我们需要计算不动点的数量:gydF4y2Ba

• “旋转gydF4y2Ba $0 ^ \保监会gydF4y2Ba$就是身份的转变。这显然不会改变16种颜色中的任何一种;有16个固定点。gydF4y2Ba
• 确定不动点的“旋转由”gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$，我们可以检查两边。上面的边将变成右边的边;如果它们是不同的颜色，显然颜色不是一个固定的点(因为右边是不同的)。例如，如果顶部是红色，右侧是蓝色，旋转后，右侧变成红色;因为右边变换前后颜色不同，所以这不是一个固定的点。同样地，右边和下面的边必须有相同的颜色。下面和左边，左边和上面也是一样的。换句话说，所有的面都必须是相同的颜色。只有两种颜色，全红或全蓝，因此有两个固定的点。gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $270 ^ \保监会gydF4y2Ba$与上述论点相似;这里也有两个不动点。gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$就有点复杂了。顶部和底部必须是相同的颜色，左侧和右侧也必须是相同的颜色，但除此之外就没什么其他的了。事实上，我们可以独立地给出颜色:顶部和底部用一种颜色，左边和右边用另一种颜色(可能是相同的)gydF4y2Ba $2 ^ 2 = 4gydF4y2Ba$固定的点。gydF4y2Ba

总的来说，我们有gydF4y2Ba $16 + 2 + 2 + 4 = 24gydF4y2Ba$定点，超过4组元素。根据伯恩赛德引理，轨道的数量，因此包括旋转在内的不同颜色的数量是gydF4y2Ba $\压裂{24}{4}= 6gydF4y2Ba$．这与我们的个案研究工作相吻合。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

在上面的例子中，通过个案工作很容易识别所有可能的颜色。但是如果有三种颜色呢?或者我们如何推广它?伯恩赛德的引理让我们可以很容易地概括:gydF4y2Ba

正方形的边要用什么来着色gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$颜色(每边都有一种颜色，但一种颜色可以给很多边着色)。如果旋转得到的两种排列是相同的，会有多少种不同的排列?gydF4y2Ba

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我们可以用伯恩赛德的引理来完全避免个案工作。我们已经确定了上述四个要素:gydF4y2Ba

• “旋转gydF4y2Ba $0 ^ \保监会gydF4y2Ba$“修复所有gydF4y2Ba $n ^ 4gydF4y2Ba$元素,gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$和“旋转”gydF4y2Ba $270 ^ \保监会gydF4y2Ba$“修复gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$每个元素,gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$“修复gydF4y2Ba $n ^ 2gydF4y2Ba$元素。gydF4y2Ba

总的来说,这是gydF4y2Ba $N ^4 + N ^2 + 2ngydF4y2Ba$元素，然后除以变换的次数4得到所需的不同颜色的数量，gydF4y2Ba $\frac{n^4 + n^2 + 2n}{4}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这允许我们计算，例如，通过简单地代入公式，2016颜色的不同颜色的数量是4129545225456。理论上我们可以做个案调查，但会很乱。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

相关的基团不仅仅是旋转。gydF4y2Ba

矩形(不是正方形)的边可以用红色或蓝色着色。有多少种可能的颜色，如果两种颜色可以从彼此得到gydF4y2Ba旋转和/或反射gydF4y2Ba被认为是相同的吗?gydF4y2Ba

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这个基团是二阶二面体群，也称为gydF4y2Ba $D_2gydF4y2Ba$，它包含以下四个要素:gydF4y2Ba

• 恒等变换gydF4y2Ba
• 旋转的gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$
• 沿着短边反射gydF4y2Ba
• 沿着长边反射。gydF4y2Ba

现在我们再次使用伯恩赛德引理:gydF4y2Ba

• 恒等变换修复gydF4y2Ba $2 ^ 4 = 16gydF4y2Ba$元素。没有边路限制。gydF4y2Ba
• 旋转的gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$修复gydF4y2Ba $2 ^ 2 = 4gydF4y2Ba$元素。长边必须匹配，短边也必须匹配。gydF4y2Ba
• 沿短边固定反射gydF4y2Ba $2 ^ 3 = 8gydF4y2Ba$元素。短边必须匹配，但长边可能不匹配。gydF4y2Ba
• 反射沿长边固定gydF4y2Ba $2 ^ 3 = 8gydF4y2Ba$元素。长边必须匹配，但短边可能不匹配。gydF4y2Ba

总共是gydF4y2Ba $\frac{4} \cdot (16+4+8+8) = 9gydF4y2Ba$轨道。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

六个看不清的球被分到三个看不清的盒子里。有多少种方法可以做到这一点?gydF4y2Ba

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起初，这看起来不像伯恩赛德引理问题。但是，我们仍然可以用伯恩赛德引理解它。gydF4y2Ba

相关的基团是三元素上的排列基团，也称为gydF4y2Ba $S_3gydF4y2Ba$，它包含以下元素:gydF4y2Ba

• 不要移动箱子。gydF4y2Ba
• 交换第一个和第二个盒子。gydF4y2Ba
• 交换第一个和第三个盒子。gydF4y2Ba
• 交换第二个和第三个盒子。gydF4y2Ba
• 把第一个盒子作为第二个盒子，以圆形的方式推动其他盒子。gydF4y2Ba
• 把第一个盒子作为第三个盒子，以圆形的方式推动其他盒子。gydF4y2Ba

或者，用排列来表示，gydF4y2Ba

• $(1、2、3)gydF4y2Ba$保持一样gydF4y2Ba $(1、2、3)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(2, 1, 3)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(3、2、1)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(1、3、2)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(2、3、1)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(3、1、2)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这次我们可以把工作简化一点:gydF4y2Ba

• 恒等排列固定了所有可能的构型。gydF4y2Ba
• 交换两个盒子的三种排列固定了交换的两个盒子的内容相等的配置。gydF4y2Ba
• 旋转方框的两种排列固定了所有方框内容相等的配置。gydF4y2Ba

现在的问题是计算每种可能性中有多少种可能的构型。gydF4y2Ba

恒等排列的情况是最难的。我们可以想象，这些盒子现在是可区分的(因为我们不再移动它们，我们不妨将它们命名为第一个、第二个和第三个盒子)。这个把6个无法区分的球放入3个可以区分的盒子的问题可以用gydF4y2Ba星条旗技术gydF4y2Ba，这告诉我们有gydF4y2Ba $\ binom {8} {2} = 28gydF4y2Ba$配置。gydF4y2Ba

第二种，两个盒子交换，更容易，因为我们可以只做一个简单的案例工作。两个交换的盒子里的东西必须分别是0、1、2或3个球，剩下的盒子里的东西依次是(分别是6、4、2或0个球)。每对交换的盒子有4种配置。gydF4y2Ba

第三种是旋转盒子，这是最简单的:因为所有盒子都有相同数量的球，所以所有盒子都必须有2个球。在这种情况下，只有一种配置。gydF4y2Ba

把所有的都加起来，我们得到gydF4y2Ba $\frac{1}{6} \cdot (28+4+4+4+1+1) = 0gydF4y2Ba$轨道;也就是说，有7种表达方式。我们可以通过案例来验证这一点:gydF4y2Ba $6 + 0 + 0 \ 5 + 1 + 0 \ 4 + 2 + 0 \ 4 + 1 + 1, \ 3 + 3 + 0、3 + 2 + 1,、2 + 2 + 2gydF4y2Ba$都是这样。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这些工具可以解决以下问题:gydF4y2Ba

从求和开始gydF4y2Ba $\ \和limits_ {g \ g} | X ^ g |。gydF4y2Ba$这可以变成对的和gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ sum_ {g \ g} | X ^ g | & = \ sum_ {g g \} \大| \ {X在X: \ g \ cdot X = X \} \大| \ \ & = \ | \ {(g, X):在g, g \ \在X, g \ cdot X = X \} \大| \ \ & = \ sum_大| {X X \} \ \ {g \ g: g \ cdot X = X \} \大| \ \ & = \ sum_ {X X \} | G_x |。结束\{对齐}gydF4y2Ba$在这里gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba稳定剂gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$

的gydF4y2Baorbit-stabilizergydF4y2Ba定理给出了gydF4y2Ba $| G_x | = \压裂{| G |} {| O_x |},gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $O_xgydF4y2Ba$是轨道gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$那么和就变成了gydF4y2Ba ${对齐}\ \开始sum_ {x x \} | G_x | & = \ sum_ {x x \} \压裂{| G |} {| O_x |} \\ &= | G | \ sum_ {x x \} \压裂{1}{| O_x |}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$在评估最后一笔钱时，要考虑到所有人对它的贡献gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在一个给定的轨道上gydF4y2Ba $O。gydF4y2Ba$每一个gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在轨道上有贡献gydF4y2Ba $\压裂{1}{O | |}gydF4y2Ba$对求和，有gydF4y2Ba $| |阿gydF4y2Ba$这样的gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$所以所有这些对总和的贡献gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在一个给定的轨道上gydF4y2Ba $1，gydF4y2Ba$因此总和等于轨道数，gydF4y2Ba $| | X / G。gydF4y2Ba$

把这些放在一起gydF4y2Ba $\sum_{g\in g} |X^g| = | g| \cdot |X/ g|，gydF4y2Ba$引理是这样的。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$