的线性代数基本定理用不同的方式将四个基本子空间联系起来。该定理主要有以下几个部分:
第1部分:
线性代数基本定理的第一部分涉及维在四个基本子空间中:
的列空间和行空间
米×n矩阵
一个这两个有尺寸
r,排名矩阵的。零空间有维数
n−r,左零空间有维数
米−r。
的列空间的维数在前面的章节中已经说明了这一点
一个=⎝⎛123.2043.693.27⎠⎞
的零空间的维数是2
一个是
n−r=4−2=2。
线性代数基本定理的第一部分有时被称为rank-nullity定理。
第2部分:
线性代数基本定理的第二部分将基本子空间更直接地联系起来:
零空间和行空间是正交。左零空间和列空间也是正交的。
也就是说,如果
v在的零空间中
一个而且
w在的行空间中
一个,点积
v⋅w是0。这是正确的,因为零空间中的任何向量根据定义都正交于每一个行向量,所以它也正交于它们的任何线性组合。
第3部分:
线性代数基本定理的最后一部分构造了一个正交基,并演示了奇异值分解:任意矩阵
米可以写成形式吗
U∑VT,在那里
-
U是一个
米×米酉矩阵;
-
∑是一个
米×n对角线上为非负值的矩阵;
-
V是一个
n×n酉矩阵。
基本定理的这一部分使我们可以立即找到所讨论的子空间的基。
这可以总结在下表中:
子空间 |
子空间的
|
象征
|
维
|
基础 |
列空间 |
R米 |
即时通讯(一个) |
r=排名 |
第一个
r列
U |
零空间(内核) |
Rn |
根据(一个) |
n−r |
最后的
n−r列
V |
行空间 |
Rn |
即时通讯(一个T) |
r |
第一个
r列
V |
左零空间(内核)
|
R米 |
根据(一个T) |
米−r |
最后的
米−r列
U |
或者也可以用下图来概括,其中箭头代表乘法的结果:四个基本子空间之间的关系。来源:https://commons.wikimedia.org/wiki/File:四个subspaces.svg