有许多秩零定理的证明。最简单的方法是略读Gauss-Jordan形式一个矩阵,因为它更容易分析。因此证明策略是直接的:通过分析行运算对秩和零的影响,证明秩-零定理可以简化到高斯-乔丹矩阵的情况,然后证明秩-零定理对高斯-乔丹矩阵是成立的。
的排名一个矩阵的
一个的Gauss-Jordan形式的秩等价于
一个.的内核的
一个等于的高斯-乔丹形式的零空间
一个.
这个定理的第一部分很清楚,因为秩在行变换下是不变的,而高斯-乔丹形式
B的
一个是通过行运算得到的。用类似的方法分析内核:假设
x∈零(一个),所以
一个x=0通过定义。高斯-乔丹形式
一个是通过行运算得到的,所以可以写成
米一个,在哪里
米是一些可逆矩阵.然后
Bx=米一个x=米0=0,所以
x∈零(B).类似地,如果
x∈零(B),然后
一个x=米−1Bx=米−10=0,所以
零(一个)=零(B),根据需要。
高斯-约当式矩阵的秩是前导变量的个数。高斯-约当式矩阵的零度是自由变量的数目。
根据定义,一个矩阵的Gauss-Jordan形式由一个非零行前导为1的矩阵组成。这些在行变换下不会消失,所以所有的非零行都是线性无关的。因此,秩等于前导1的个数,这相当于前导变量的个数。
现在假设有
米前导变量和
n自由变量。然后向量
v1=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮10⋮0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞,v2=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮01⋮0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞,...,vn=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮00⋮1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
为矩阵的高斯-乔丹形式的零空间形成一组基。这些向量显然是线性无关的,因此零值是
n——自由变量的数量。
秩零定理是这两个结果的直接推论。矩阵的秩
一个和矩阵的零空间
一个等价于的Gauss-Jordan形式的秩和零空间
一个因此,对于高斯-乔丹形式的矩阵,证明秩零定理是足够的。但是高斯-乔丹式矩阵的列数恰好是前导变量数(上面显示为秩)和自由变量数(上面显示为零)的和,因为每个变量要么是前导变量,要么是自由变量。这就完成了证明。
□