差异化规则GyD.F4.y2Ba

差异化规则GyD.F4.y2Ba公式能让我们找到GyD.F4.y2Ba衍生品GyD.F4.y2Ba的GyD.F4.y2Ba职能GyD.F4.y2Ba很快。GyD.F4.y2Ba

采取函数的衍生工具遵循几个基本规则：GyD.F4.y2Ba

• 乘法常量：GyD.F4.y2Ba $\ big（c \ cdot f（x）\ big）'= c \ cdot f'（x）GyD.F4.y2Ba$
• 加法和减法:GyD.F4.y2Ba $\ big（f（x）\ pm g（x）\ big）'= f'（x）\ pm g'（x）。GyD.F4.y2Ba$

关于函数的乘法和复合，请参阅GyD.F4.y2Ba产品规则GyD.F4.y2Ba和GyD.F4.y2Ba连锁规则GyD.F4.y2Ba。GyD.F4.y2Ba

主要文章：GyD.F4.y2Ba电力规则GyD.F4.y2Ba

服用时GyD.F4.y2Ba多项式的导数GyD.F4.y2Ba，我们可以使用幂次法则:GyD.F4.y2Ba

电力规则GyD.F4.y2Ba

$\ frac {d} {dx} x ^ n = n \ cdot x ^ {n-1}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba三角函数的分化GyD.F4.y2Ba

我们可以看到下表中的基本三角衍生物：GyD.F4.y2Ba

主要文章：GyD.F4.y2Ba指数函数的分化GyD.F4.y2Ba

这里需要记住的主要公式是对数的导数GyD.F4.y2Ba

$d \ dfrac {} {dx} \ log_a x = \ dfrac {1} {x \ cdot \ ln}。GyD.F4.y2Ba$

以下指数函数的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）= 2 \ cdot 3 ^ x？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆= 2（3 ^ x）'\\＆= 2 \ cdot 3 ^ x \ ln 3 \\＆= 2（\ ln 3）\ cdot 3 ^ ^ x。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下指数函数的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）= 3e ^ x？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

${e^x = 0}，其中e^x = 0, e^x = 0, e^x = 0, e^x = 0, e^x = 0, e^x = 0, e^x = 0, e^x = 0。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba对数函数的微分GyD.F4.y2Ba

以下对数函数的导数是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）= \ ln x + x？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆=（\ ln x）'+ x'\\＆= \ frac {1} {x} + 1. \ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下对数函数的导数是什么：GyD.F4.y2Ba

$F (x) =3\log_{2} x -x^2 +2 ?GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆=（3 \ log_ {2} x）' - \ big（x ^ 2 \ big）'+0 \\＆= 3 \ cdot \ frac {1} {x}\ cdot \ frac {1} {\ ln 2} - 2x \\＆= \ frac {3} {x \ ln 2} - 2x。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba连锁规则GyD.F4.y2Ba

一般形式:GyD.F4.y2Ba $\ frac {d} {dx} f \ big（g（x）\ big）= f'\ big（g（x）\ big）\ cdot g'（x）GyD.F4.y2Ba$

下面这个函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$x ^ 2 + y = f (2 - 3) ?GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} y'＆= f'（2x ^ 2 + x-3）\ big（2x ^ 2 + x-3 \ big）'\\＆=（4x + 1）f'（2x ^ 2 +x-3）。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

下面这个函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$f（x）=（x ^ 2 + x + 1）^ 5？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\{对齐}开始f (x) & = 5 \大(x ^ 2 + x + 1 \大)^ 4 \大(x ^ 2 + x + 1 \大)”\ \ & = 5 \大(x ^ 2 + x + 1 \大)^ 4 (2 x + 1)。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

下面这个函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$y = \ sqrt {2x + 1}？GyD.F4.y2Ba$

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自GyD.F4.y2Ba $y = \ sqrt {2x + 1} =（2x + 1）^ {\ frac {1} {2}}，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {senugented} y'＆= \ frac {1} {2}（2x + 1）^ {\ frac {1} {2} -1} \ cdot（2x + 1）'\\＆=（2x +1）^ { - \ frac {1} {2}} \\＆= \ frac {1} {\ sqrt {2x + 1}}。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba乘法法则GyD.F4.y2Ba

下面这个函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$Y = x^2+3 (x^3+2x^2+5)GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} y'＆=（x ^ 2 + 3）'（x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5）+（x ^ 2 + 3）（x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5）'\\＆= 2x（x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5）+（x ^ 2 + 3）（3x ^ 2 + 4x）\\＆= 5x ^ 4 + 8x ^ 3 + 9x ^ 2 + 22x。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

下面这个函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$Y =（x ^ 2 + 1）（2x + 1）（3x + 1）GyD.F4.y2Ba$

什么时候GyD.F4.y2Ba $x = 1 ?GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} y'＆=（x ^ 2 + 1）'（2x + 1）（3x + 1）+（x ^ 2 + 1）（2x + 1）'（3x + 1）+（x ^2+1）（2X+1）（3.X+1）' \\ &= 2x(2x+1)(3x+1) + (x^2+1)\cdot 2 \cdot (3x+1) + (x^2+1)(2x+1) \cdot 3 \\ &= 24x^3 + 15x^2 + 14x +5. \end{aligned}$

因此，衍生物GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $x = 1GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba

$y'\ big \ vert_ {x = 1} = 24 \ cdot 1 ^ 3 + 15 \ cdot 1 ^ 2 + 14 \ cdot 1 + 5 = 58. \ _ \ squareGyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba除法法则GyD.F4.y2Ba

下面这个函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$Y = {1-x}{x^2+2} ?GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {senugented} y'＆= \ frac {（1-x）'（x ^ 2 + 2） - （1-x）（x ^ 2 + 2）'} {（x ^ 2 + 2）^ 2} \\＆= \ frac {（ - 1）\ cdot（x ^ 2 + 2） - （1-x）\ cdot 2x} {（x ^ 2 + 2）^ 2} \\＆= \ frac {x^ 2-2x-2} {（x ^ 2 + 2）^ 2}。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

下面这个函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$y = \ frac {1} {x ^ 2 \ sqrt {x ^ 3}}？GyD.F4.y2Ba$

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自GyD.F4.y2Ba $y = \ frac {1} {x ^ 2 \ sqrt {x ^ 3}} = x ^ { - \ frac {7} {2}}，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba $\{对齐}开始y ' & = - \压裂{7}{2}x ^{- \压裂{9}{2 }} \\ &= -\ 压裂{7}{2 x ^ 4 \√{x}}。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba逆函数的分化GyD.F4.y2Ba

如果GyD.F4.y2Ba $f（x）= x ^ 3 + 7x + 2，GyD.F4.y2Ba$找到GyD.F4.y2Ba $(f ^{1})(10)。GyD.F4.y2Ba$

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如果GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$1 - 1可微函数是逆函数吗GyD.F4.y2Ba $f ^ { - 1}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $f'大（f ^ { - 1}（a）\ big）\ neq 0，GyD.F4.y2Ba$然后逆功能可差GyD.F4.y2Ba $一种GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba

$（f ^ { - 1}）'（a）= \ frac {1} {f'\ big（f ^ { - 1}（a）\ big）}。GyD.F4.y2Ba$

注意GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$这个问题是一对一的，因为GyD.F4.y2Ba

$f'（x）= 3x ^ 2 + 7> 0，GyD.F4.y2Ba$

所以GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$在增长。要使用上述定理，我们需要知道GyD.F4.y2Ba $f ^ {1} (10)GyD.F4.y2Ba$我们可以通过等式找到它GyD.F4.y2Ba $f（x）= 10：GyD.F4.y2Ba$

$当x^{-1}(10) = 1时，当x^{-1}(10) = 1时，x^{-1}(10) = 1。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

因此,GyD.F4.y2Ba

$(f ^{1})(10) = \压裂{1}{f ' \大(f ^{1}(10) \大)}= \压裂{1}{f '(1)} = \压裂{1}{3 \ cdot 1 ^ 2 + 7} = \压裂{1}{10}。\ _ \广场GyD.F4.y2Ba$

如果GyD.F4.y2Ba $f（x + y）= f（x）+ f（y）+ xyGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $f'（0）= 2，GyD.F4.y2Ba$什么是GyD.F4.y2Ba $f (2) ?GyD.F4.y2Ba$

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替换GyD.F4.y2Ba $x = 0.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $y = 0GyD.F4.y2Ba$进入GyD.F4.y2Ba $f（x + y）= f（x）+ f（y）+ xy，GyD.F4.y2Ba$我们得到了价值GyD.F4.y2Ba $f (0)GyD.F4.y2Ba$如下:GyD.F4.y2Ba

$f（0）= f（0）+ f（0）+ 0 \意味着f（0）= 0。GyD.F4.y2Ba$

因此，GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（2）＆= lim_ {h \ lightarrow 0} \ frac {f（2 + h）-f（2）} {h} \\＆= \ lim_ {h \ lightarrow 0}\ frac {f（2）+ f（h）+ 2h - f（2）} {h} \\＆= lim_ {h \ lightarrow 0}左（\ frac {f（h）} {h} +2\right ) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left ( \frac{f(0+h)-f(0)}{h}+2\right ) \\ &= f'(0) + 2 \\ &= 2+2 \\ &= 4. \ _\square \end{aligned}$

如果GyD.F4.y2Ba $F (x) = (x +根号{1+x^2})^{10}，GyD.F4.y2Ba$什么是GyD.F4.y2Ba $f'（1）\ cdot f'（ - 1）？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\{对齐}开始f (x) & = 10 \离开(x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右)^ 9 \ * \离开(x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右)”\ \ & = 10 \离开(x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右)左(1 + ^ 9 \ \压裂{2 x}{2 \√{1 + x ^ 2}} \ ) \\ &= \ 压裂{10}{\ sqrt {1 + x ^ 2}} \离开(x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右)^{10}。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

因此,GyD.F4.y2Ba

$\{对齐}开始f ' (1) \ cdot f(1) & = \压裂{10}{\ sqrt{2}} \离开(1 + \ sqrt{2} \右)^{10}\ * \压裂{10}{\ sqrt{2}} \离开(1 + \ sqrt{2} \右)^{10}\ \ & = 50 \离开(\ \√{2}+ 1大)\ \大大概{2}1 \大)(\ \)^{10}\ \ & = 50(2)^{10}\ \ & = 50。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

如果GyD.F4.y2Ba $f（t）= f \ big（g（t）\ big），f'（t）= \ frac {1} {t ^ 2 + 1}，g'（t）= \ frac {10} {t ^4 + 1}，GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $g（0）= 3，GyD.F4.y2Ba$什么是GyD.F4.y2Ba $f'（0）？GyD.F4.y2Ba$

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自GyD.F4.y2Ba $f'（t）= f'大（g（t）\ big）g'（t），GyD.F4.y2Ba$

$\{对齐}开始G ' (0) & = f ' \大(G(0) \大)G’(0 ) \\\\ &= f (3) \ cdot \压裂{10}{0 ^ 4 + 1 } \\\\ &= \ 压裂{1}{3 ^ 2 + 1}\ cdot 10 \ \ \ \ & = 1。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

下列函数的导数是什么?GyD.F4.y2Ba

$y = \ sqrt [3] {（x + 1）（x ^ 2 + 1）}GyD.F4.y2Ba$什么时候GyD.F4.y2Ba $x = 0 ?GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

${对齐}y & = \ \开始sqrt [3] {(x + 1) (x ^ 2 + 1)} \ \ \ Rightarrow y ^ 3 & = (x + 1) (x ^ 2 + 1)。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

偏离双方GyD.F4.y2Ba $X，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} 3y ^ 2 \ frac {dy} {dx}＆=（x ^ 2 + 1）+（x + 1）\ cdot 2x \\＆= 3x ^ 2 + 2x + 1 \\\\\\frotharrow \ frac {dy} {dx}＆= \ frac {3x ^ 2 + 2x + 1} {3y ^ 2} \\＆= \ frac {3x ^ 2 + 2x + 1} {3 \ sqrt [3] {（x + 1）^ 2（x ^ 2 + 1）^ 2}} \\\\ \ lightarrow \ left。\ frac {dy} {dx} \ \ light \ lvert_ {x = 0}＆= \ frac {1} {3}。\ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4.y2Ba$