差异化规则GyD.F4.y2Ba

差异化规则GyD.F4.y2Ba是允许我们找到的公式GyD.F4.y2Ba衍生品GyD.F4.y2Ba的GyD.F4.y2Ba功能GyD.F4.y2Ba迅速地。GyD.F4.y2Ba

采取函数的衍生工具遵循几个基本规则：GyD.F4.y2Ba

• 乘法常量：GyD.F4.y2Ba $\ big（c \ cdot f（x）\ big）'= c \ cdot f'（x）GyD.F4.y2Ba$
• 加减：GyD.F4.y2Ba $\ big（f（x）\ pm g（x）\ big）'= f'（x）\ pm g'（x）。GyD.F4.y2Ba$

用于乘法和功能组成，参见GyD.F4.y2Ba产品规则GyD.F4.y2Ba和GyD.F4.y2Ba连锁规则GyD.F4.y2Ba。GyD.F4.y2Ba

主要文章：GyD.F4.y2Ba电力规则GyD.F4.y2Ba

服用时GyD.F4.y2Ba多项式的衍生物GyD.F4.y2Ba，我们可以使用电源规则：GyD.F4.y2Ba

电力规则GyD.F4.y2Ba

$\ frac {d} {dx} x ^ n = n \ cdot x ^ {n-1}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba三角函数的分化GyD.F4.y2Ba

我们可以看到下表中的基本三角衍生物：GyD.F4.y2Ba

主要文章：GyD.F4.y2Ba指数函数的分化GyD.F4.y2Ba

您必须记住的主要公式是对数的衍生作用：GyD.F4.y2Ba

$\ dfrac {d} {dx} \ log_a x = \ dfrac {1} {x \ cdot \ ln a}。GyD.F4.y2Ba$

以下指数函数的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）= 2 \ cdot 3 ^ x？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆= 2（3 ^ x）'\\＆= 2 \ cdot 3 ^ x \ ln 3 \\＆= 2（\ ln 3）\ cdot 3 ^ ^ x。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下指数函数的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）= 3e ^ x？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆= 3（e ^ x）'\\＆= 3e ^ x。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba对数函数的分化GyD.F4.y2Ba

以下对数函数的导数是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）= \ ln x + x？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆=（\ ln x）'+ x'\\＆= \ frac {1} {x} + 1. \ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下对数函数的导数是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）= 3 \ log_ {2} x -x ^ 2 +2？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆=（3 \ log_ {2} x）' - \ big（x ^ 2 \ big）'+0 \\＆= 3 \ cdot \ frac {1} {x}\ cdot \ frac {1} {\ ln 2} - 2x \\＆= \ frac {3} {x \ ln 2} - 2x。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba连锁规则GyD.F4.y2Ba

一般形式：GyD.F4.y2Ba $\ frac {d} {dx} f \ big（g（x）\ big）= f'\ big（g（x）\ big）\ cdot g'（x）GyD.F4.y2Ba$

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$Y = F（2x ^ 2 + x-3）？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} y'＆= f'（2x ^ 2 + x-3）\ big（2x ^ 2 + x-3 \ big）'\\＆=（4x + 1）f'（2x ^ 2 +x-3）。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$f（x）=（x ^ 2 + x + 1）^ 5？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆= 5 \ big（x ^ 2 + x + 1 \ big）^ 4 \ big（x ^ 2 + x + 1 \ big）'\\＆= 5 \ big（x ^ 2 + x + 1 \ big）^ 4（2x + 1）。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$y = \ sqrt {2x + 1}？GyD.F4.y2Ba$

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自从GyD.F4.y2Ba $y = \ sqrt {2x + 1} =（2x + 1）^ {\ frac {1} {2}}，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {senugented} y'＆= \ frac {1} {2}（2x + 1）^ {\ frac {1} {2} -1} \ cdot（2x + 1）'\\＆=（2x +1）^ { - \ frac {1} {2}} \\＆= \ frac {1} {\ sqrt {2x + 1}}。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba产品规则GyD.F4.y2Ba

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$Y =（x ^ 2 + 3）（x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5）？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} y'＆=（x ^ 2 + 3）'（x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5）+（x ^ 2 + 3）（x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5）'\\＆= 2x（x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5）+（x ^ 2 + 3）（3x ^ 2 + 4x）\\＆= 5x ^ 4 + 8x ^ 3 + 9x ^ 2 + 22x。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$Y =（x ^ 2 + 1）（2x + 1）（3x + 1）GyD.F4.y2Ba$

什么时候GyD.F4.y2Ba $x = 1？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} y'＆=（x ^ 2 + 1）'（2x + 1）（3x + 1）+（x ^ 2 + 1）（2x + 1）'（3x + 1）+（x ^2+1）（2X+1）（3.X+1）' \\ &= 2x(2x+1)(3x+1) + (x^2+1)\cdot 2 \cdot (3x+1) + (x^2+1)(2x+1) \cdot 3 \\ &= 24x^3 + 15x^2 + 14x +5. \end{aligned}$

因此，衍生物GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $x = 1GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba

$y'\ big \ vert_ {x = 1} = 24 \ cdot 1 ^ 3 + 15 \ cdot 1 ^ 2 + 14 \ cdot 1 + 5 = 58. \ _ \ squareGyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba商规则GyD.F4.y2Ba

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$y = \ frac {1-x} {x ^ 2 + 2}？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {senugented} y'＆= \ frac {（1-x）'（x ^ 2 + 2） - （1-x）（x ^ 2 + 2）'} {（x ^ 2 + 2）^ 2}\\ &= \frac{(-1) \cdot (x^2+2)-(1-x) \cdot 2x}{(x^2+2)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-2}{(x^2+2)^2}. \ _\square \end{aligned}$

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$y = \ frac {1} {x ^ 2 \ sqrt {x ^ 3}}？GyD.F4.y2Ba$

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自从GyD.F4.y2Ba $y = \ frac {1} {x ^ 2 \ sqrt {x ^ 3}} = x ^ { - \ frac {7} {2}}，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba $\ begin {对齐} y'＆= - \ frac {7} {2} x ^ { - \ frac {9} {2}} \\＆= - \ frac {7} {2x ^ 4 \ sqrt {x}}。\ _ \ square \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

主要文章：GyD.F4.y2Ba逆函数的分化GyD.F4.y2Ba

如果GyD.F4.y2Ba $f（x）= x ^ 3 + 7x + 2，GyD.F4.y2Ba$寻找GyD.F4.y2Ba $（f ^ { - 1}）'（10）。GyD.F4.y2Ba$

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如果GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$是具有逆功能的一对一可差异功能GyD.F4.y2Ba $f ^ { - 1}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $f'大（f ^ { - 1}（a）\ big）\ neq 0，GyD.F4.y2Ba$然后逆功能可差GyD.F4.y2Ba $一种GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba

$（f ^ { - 1}）'（a）= \ frac {1} {f'\ big（f ^ { - 1}（a）\ big）}。GyD.F4.y2Ba$

注意GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$这个问题是一对一的，因为GyD.F4.y2Ba

$f'（x）= 3x ^ 2 + 7> 0，GyD.F4.y2Ba$

所以GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$在增加。要使用上述定理，我们需要知道GyD.F4.y2Ba $f ^ { - 1}（10）GyD.F4.y2Ba$我们可以通过等式找到它GyD.F4.y2Ba $f（x）= 10：GyD.F4.y2Ba$

$\ begin {对齐} 10＆= x ^ 3 + 7x + 2 \\ \ lightarrow x＆= 1，f ^ { - 1}（10）= 1. \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

所以，GyD.F4.y2Ba

$（f ^ {-1}）'（10）= \ frac {1} {f'\ big（f ^ { - 1}（10）\ big）} = \ frac {1} {f'（1）}= \ FRAC {1} {3 \ CDOT 1 ^ 2 + 7} = \ FRAC {1} {10}。\ _\正方形GyD.F4.y2Ba$

如果GyD.F4.y2Ba $f（x + y）= f（x）+ f（y）+ xyGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $f'（0）= 2，GyD.F4.y2Ba$什么是GyD.F4.y2Ba $F'（2）？GyD.F4.y2Ba$

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替代GyD.F4.y2Ba $x = 0.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $Y = 0.GyD.F4.y2Ba$进入GyD.F4.y2Ba $f（x + y）= f（x）+ f（y）+ xy，GyD.F4.y2Ba$我们得到了价值GyD.F4.y2Ba $F（0）GyD.F4.y2Ba$如下：GyD.F4.y2Ba

$f（0）= f（0）+ f（0）+ 0 \意味着f（0）= 0。GyD.F4.y2Ba$

因此，GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（2）＆= lim_ {h \ lightarrow 0} \ frac {f（2 + h）-f（2）} {h} \\＆= \ lim_ {h \ lightarrow 0}\ frac {f（2）+ f（h）+ 2h - f（2）} {h} \\＆= lim_ {h \ lightarrow 0}左（\ frac {f（h）} {h} +2\right ) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left ( \frac{f(0+h)-f(0)}{h}+2\right ) \\ &= f'(0) + 2 \\ &= 2+2 \\ &= 4. \ _\square \end{aligned}$

如果GyD.F4.y2Ba $f（x）= \左（x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右）^ {10}，GyD.F4.y2Ba$什么是GyD.F4.y2Ba $f'（1）\ cdot f'（ - 1）？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆= 10 \ left（x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右）^ 9 \ times \ left（x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右）'\\＆= 10 \ left（x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右）^ 9 \ left（1 + \ frac {2x} {2 \ sqrt {1 + x ^ 2}} \右）\\＆= \ frac {10} {\ sqrt {1 + x ^ 2}}左（x + \ sqrt {1 + x ^ 2} \右）^ {10}。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

所以，GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} f'（1）\ cdot f'（ - 1）＆= \ frac {10} {\ sqrt {2}} \ left（1+ \ sqrt {2} \右）^ {10} \\ stipt \ frac {10} {\ sqrt {2}} \左（-1 + \ sqrt {2} \右）^ {10} \\＆= 50 \ left（\ big（\ sqrt {2} +1B.ig)\big(\sqrt{2} -1\big)\right)^{10} \\ &= 50(2-1)^{10} \\ &= 50. \ _\square \end{aligned}$

如果GyD.F4.y2Ba $f（t）= f \ big（g（t）\ big），f'（t）= \ frac {1} {t ^ 2 + 1}，g'（t）= \ frac {10} {t ^4 + 1}，GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $g（0）= 3，GyD.F4.y2Ba$什么是GyD.F4.y2Ba $f'（0）？GyD.F4.y2Ba$

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自从GyD.F4.y2Ba $f'（t）= f'大（g（t）\ big）g'（t），GyD.F4.y2Ba$

$\ begin {对齐} g'（0）＆= f'大（g（0）\ big）g'（0）\\\\＆= f'（3）\ cdot \ frac {10} {0 ^4 + 1} \\\\＆= \ frac {1} {3 ^ 2 +1} \ cdot 10 \\\\＆= 1. \ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4.y2Ba$

以下功能的衍生物是什么：GyD.F4.y2Ba

$y = \ sqrt [3] {（x + 1）（x ^ 2 + 1）}GyD.F4.y2Ba$什么时候GyD.F4.y2Ba $x = 0？GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} y＆= \ sqrt [3] {（x + 1）（x ^ 2 + 1）} \\ \ lightarrow y ^ 3＆=（x + 1）（x ^ 2 + 1）。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

偏离双方GyD.F4.y2Ba $X，GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} 3y ^ 2 \ frac {dy} {dx}＆=（x ^ 2 + 1）+（x + 1）\ cdot 2x \\＆= 3x ^ 2 + 2x + 1 \\\\\\frotharrow \ frac {dy} {dx}＆= \ frac {3x ^ 2 + 2x + 1} {3y ^ 2} \\＆= \ frac {3x ^ 2 + 2x + 1} {3 \ sqrt [3] {（x + 1）^ 2（x ^ 2 + 1）^ 2}} \\\\ \ lightarrow \ left。\ frac {dy} {dx} \ \ light \ lvert_ {x = 0}＆= \ frac {1} {3}。\ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4.y2Ba$