逆函数的微分

求逆函数的微分很简单。要做到这一点，你只需要学习一个简单的公式，如下所示:

$f d \压裂{}{dx} ^ {1} (x) = \压裂{1}{f ' (y)}, y = f ^ {1} (x)$

这很简单，不是吗?然而，当问题有点棘手时，决定应该将哪个变量代入可能会令人困惑 $x$然后变成 $y。$这就是为什么理解证明是至关重要的。当涉及到逆函数时，我们通常会改变的位置 $y$而且 $x$在方程中。当然，这是因为如果 $y = f ^ {1} (x)$是真的，那么 $x = f (y)$这也是真的。上面公式的证明也遵循这个规则。

证明的导数 $y = f ^ {1} (x)$关于 $x$是 $\压裂{1}{f ' (y)}。$

---

我们知道 $x = f (y)。$两边对。求导 $y$给了

$\开始{对齐}\压裂{dx} {dy} & = \压裂{d} {dy} f (y) \ \ \压裂{dx} {dy} & = f”(y) \ \ \ Rightarrow \压裂{dy} {dx} & = \压裂{1}{f ' (y)}。\ _\方形\端{对齐}$

别忘了 $x$而且 $y$分别是函数的输入和输出吗 $y = f ^ {1} (x)$在这个公式中。图形演示将让我们更深入地了解这一点:

从上图中，我们可以看到这些点 $(x, y)$而且 $(y, x)$线条是否对称 $y = x$这些点的切线也是。因此，我们可以从图中得出结论 $f d \压裂{}{dx} ^ {1} (x) = \压裂{1}{f ' (y)}。$

如果 $f (x) = x ^ 2,$它的导数是什么 $f ^ {1} (x)$在 $x = 4 ?$

---

自 $f (2) = 4,$我们知道 $f ^{1}(4) = 2。$因此我们有

$f d \压裂{}{dx} ^{1}(4) = \压裂{1}{f '(2)} = \离开了。\frac{1}{2x} \right | _{x=2}=\frac{1}{4}. \frac{1}{4}. \frac{1}{2x} \right | _{x=2}=\frac{1}{4}。\ _ \广场$

如果 $f (x) = \ ln x,$它的导数是什么 $f ^ {1} (x)$在 $x = 2 ?$

---

自 $f (e ^ 2) = 2,$我们知道 $f ^ {1} (2) = e ^ 2。$因此我们有

$f d \压裂{}{dx} ^{1}(2) = \压裂{1}{f ' (e ^ 2)} = \离开了。\frac{1}{\frac{1}{x}} \right |_{x=e^2}=e^2。\ _ \广场$

如果 $f (x) = \ sin (x) \ \ \离开(- \压裂{\π}{2}\ leq x \ leq \压裂{\π}{2}\右),$tan的方程是什么 $y = f ^ {1} (x)$在 $x = \压裂{1}{2}?$

---

自 $左(f \ \压裂{\π}{6}\右)= \压裂{1}{2},$我们知道 $左(f ^{1} \ \压裂{1}{2}\右)= \压裂{\π}{6}。$因此我们有

$f d \压裂{}{dx} ^{1} \离开(\压裂{1}{2}\右)= \压裂{1}{f ' \离开(\压裂{\π}{6}\右)}= \离开了。\压裂{1}{\ cos x} \右| _ {x = \压裂{\π}{6}}= \压裂{2}{\ sqrt{3}}。$

这意味着切线的斜率是 $\压裂{2}{\ sqrt{3}}。$我们知道切线穿过这个点 $\离开(\压裂{1}{2},\压裂{\π}{6}\右)。$因此，tan的方程是

${对齐}y = \ \开始压裂{2}{\ sqrt{3}} \离开(x - \压裂{1}{2}\右)+ \压裂{\π}{6}\ \ y = \压裂{2}{\ sqrt {3}} x - \压裂{\ sqrt{3}}{3} + \压裂{\π}{6}。\ _\方形\端{对齐}$