指数函数的分化GydF4y2Ba

什么是指数函数？指数函数是函数中具有功能的函数。它们是一般形式GydF4y2Ba $f（x）= g（x）^ {h（x）}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

那么我们如何采取指数函数的衍生作用？当我们第一次看到指数函数时，它通常有效地表达对数形式的功能，以将功能减少到产品形式:(参见WikiGydF4y2Ba对数的属性GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

$\ ln \ big（f（x）\ big）= h（x）\ ln \ big（g（x）\ big）。GydF4y2Ba$

现在我们拥有产品形式的功能，我们可以调用差异化的产品规则:(参见GydF4y2Ba差异化产品规则GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

$\ ln \ big（f（x）\ big）'= h（x）'\ ln \ big（g（x）\ big）+ h（x）\ big（\ ln \ big（g（x）\ big）\大）'。GydF4y2Ba$

我们现在可以调用逻辑上的差异化规则:(参见GydF4y2Ba对数函数的衍生物GydF4y2Ba）GydF4y2Ba

$\ frac {f（x）'} {f（x）} = h（x）'\ ln \ big（g（x）\ big）+ \ frac {h（x）g（x）'} {g（X）}。GydF4y2Ba$

解决GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$'给予GydF4y2Ba

$f（x）'= f（x）h（x）'\ ln \ big（g（x）\ big）+ f（x）\ frac {h（x）g（x）'} {g（x）}。QQuad（1）GydF4y2Ba$

现在，往往GydF4y2Ba $g（x）GydF4y2Ba$可能是一个常量，然后我们得到GydF4y2Ba

$f（x）'= f（x）h（x）'\ ln \ big（g（x）\ big）。QQuad（2）GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $f（x）= 2 \ cdot3 ^ x。GydF4y2Ba$

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从上述（2），GydF4y2Ba $g（x）= 3GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $h（x）= x，GydF4y2Ba$所以GydF4y2Ba $f（x）'= 2 \ cdot3 ^ x \ ln（3）。GydF4y2Ba$ $_\正方形GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $f（x）= \ cos（x）\ cdot e ^ {\ ln \ big（\ sin（x）\ big）}。GydF4y2Ba$

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从上述（2），GydF4y2Ba

$g（x）= e，\ \ ln \ big（g（x）\ big）= 1，\ h（x）= \ ln \ big（\ sin（x）\ big），\ h（x）'=\ frac {\ cos（x）} {\ sin（x）}。GydF4y2Ba$

因此，从上面的差异化的产品规则，GydF4y2Ba

$f（x）'= \ big（\ cos（x）\ big）'\ cdot e ^ {\ ln \ left（\ sin（x）\ reque）} + \ cos（x）\ cdot \ left（e ^{\ ln \ left（\ sin（x）\右）} \右）'。GydF4y2Ba$

$\大（GydF4y2Ba$看GydF4y2Ba将差分规则应用于三角函数GydF4y2Ba和规则（2）以上GydF4y2Ba $\大）。GydF4y2Ba$

我们有GydF4y2Ba

$\ big（\ cos（x）\ big）'= - \ sin（x），\ qquad \ left（e ^ {\ ln \ left（\ sin（x）\右）} \右）'= e ^ {\ ln \左（\ sin（x）\右）} \ cdot \ frac {\ cos（x）} {\ sin（x）}。GydF4y2Ba$

现在从（2）上方，我们得到了GydF4y2Ba

$f（x）'= - \ sin（x）\ cdot e ^ {\ ln \ left（\ sin（x）\ reve）} + e ^ {\ ln \ left（\ sin（x）\右）} \CDOT \ frac {\ big（\ cos（x）\ big）^ 2} {\ sin（x）}。GydF4y2Ba$

要分解和寻找共同的分母，并注意到GydF4y2Ba $e ^ {\ ln \ left（\ sin（x）\右）} = \ sin（x），GydF4y2Ba$我们得到了GydF4y2Ba

$f（x）'= \ big（\ cos（x）\ big）^ 2- \ big（\ sin（x）\ big）^ 2。GydF4y2Ba$

简化，GydF4y2Ba $f（x）'= \ cos（2x）。GydF4y2Ba$ $_\正方形GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $f（x）= \ big（\ sin（x）\ big）^ x。GydF4y2Ba$

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从上述（1），GydF4y2Ba $g（x）= \ sin（x）GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $h（x）= x。GydF4y2Ba$现在，自以来GydF4y2Ba $g（x）GydF4y2Ba$不是一个常量，我们使用上面的推导（1），在哪里GydF4y2Ba $h（x）'= 1，g（x）'= \ cos（x）。GydF4y2Ba$我们得到了GydF4y2Ba

$f（x）'= \ big（\ sin（x）\ big）^ x \ cdot \ big（\ ln \ left（\ sin（x）\右）+ x \ cdot \ cot（x）\ big）。\ _\正方形GydF4y2Ba$