毕奥-萨伐尔定律

这个毕奥-萨伐尔定律提供的定义有差别的磁场, $d\vec{B}，$当当前， $我$流经无限长的电线， $d\vec{l}，$在远处， $R$离开

$d\vec{B}=\frac{\mu_0\text{i\text{d\vec{l}\times\hat{r}{4\pir^2}$

毕奥-萨伐尔定律对于确定电流产生的磁场方向是必要的，对于计算不同导线结构的磁场非常方便。

^[1]

磁场的方向来自 $d\vec{l}\times\hat{r}$和交叉积性质.

• $d\vec{l}$是导线的不同长度。它的方向与流过它的电流的方向相同。

• $\hat{r}$是一个单位向量从电线到调查点。

$$

$$

电流沿负x方向流过位于原点的无限小长度导线。求负z轴上某点的磁场方向。

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为了确定方向，首先写下 $d\vec{l}$和 $\hat{r}。$由于电流沿负x方向流动，

$d\vec{l}=-\hat{x}。$

导线位于原点，调查点位于负z轴上，因此

$\hat{r}=-\hat{z}。$

评估交叉积。

$d\vec{l}\times\hat{r}=（\hat{x}）\times（-\hat{z}）=-\hat{y}$

在实际计算磁场时，遵循这些一般步骤是很有帮助的。

1） 评估 $d\vec{l}\times\hat{r}。$

2） 改变变量。

3） 整合。

长杆 $L$躺在地上 $Y$-电流轴 $我$跑步 $+y$-方向和终点 $y_1$和 $y_2。$什么是磁场 $（x_1,0）？$

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1） 评估 $d\vec{l}\times\hat{r}。$

由于电流沿y轴向上流动， $d\vec{l}=d\hat{y}。$

$d\vec{l}\times\hat{r}=dy|||\hat{r}|||\sin\theta\hat{z}=dy\sin\theta\hat{z}$

2） 改变变量。

自从 $\西塔$是y轴与从y轴指向的位移向量之间的角度 $（x_1,0），$

$\sin\theta=\frac{x_1}{r}$

因此

$r=\frac{x_1}{\sin\theta}。$

而且

$\tan\theta=\frac{x_1}{y}$

$y=\frac{x_1}{\tan\theta}=x_1\cot\theta$

$dy=x_1（-csc^2\theta）d\theta=-x_1\csc^2\theta d\theta$

所以比奥-萨伐尔定律现在看起来像

$3.d\vec{{{B}{{B}{{B}{B}{{B}{B}{B}{B}{d}{d}{d{C{1}{1}{{4\P{r}{4\P{B}{B{B{B}{4\P{P{P}{P}{4\P}{4\P{P{P}{P}{4\P}{4\P}{4\pi r{2}{4\P{P}}{4\P}4\PIR{2}}}{4\P}{4\P P}{4\P}{4\P P P}1}{2}{{4\P}{4\P}{1}{4\P}}}\sin^3\theta\hat{z}{4\pix_1^2}$

$d\vec{B}=-\frac{\mu_0\text{i\text{}\sin\theta d\theta}{4\pix_1}\hat{z}$

3） 整合。

$\vec{B}=-\frac{\mu_0 i}{4\pix_1}\hat{z}\int{\theta_1}{\theta_2}\sin\theta d\theta=\frac{\mu 0 i}{4\pix_1}（\cos\theta_2-\cos\theta_1）\hat{z}$

$\cos\theta=\frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{y^2+r^2}$

如果上面例子中的杆有无限长，磁场是多少？

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从

$\vec{B}=\frac{\mu_0 i}{4\pix_1}（\cos\theta_2-\cos\theta_1）\hat{z}。$

当长度接近无穷大时， $\theta_2\右箭头0^\circ$和 $\θ1向右箭头180^ \circ，$所以

$\vec{B}=\frac{\mu_0 i}{4\pix_1}（\cos 0^\circ-\cos 180^\circ）\hat{z}=\frac{\mu_0 i}{2\pix_1}。$

这对于那些已经学习过的人来说应该很熟悉磁场.

1. 范德格里夫特，G。磁场元件（毕奥-萨伐尔定律）. 2016年6月8日检索自https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Magnetic_field_element_（毕奥-萨伐尔定律）