集成技术：5级挑战在线实践问题|杰出的

$\ int_0 ^ 1 \ left（1-x ^ 2 \右）^ 9 x ^ 9 \，dx$

让 $一世$ 表示上面积分的值。什么是数字的总和 $我^ { - 1}？$

$左\ lfloor \ frac {\ displaystyle {\ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ { - x ^ 2} \，dx}} {\ displaystyle {\ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-x ^ 2} \ cos 2x \，dx}} \ rick \ rfloor = \？$

定义一系列功能 $\ {f_n（x）\}$ 如下： $f_1（x）= 1，\ hspace {.4cm} f_ {n + 1}（x）= \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {e ^ { - tx}} {f_n（t）} dt。$ 评估： $\ frac {f_ {20}（1）f_ {21}（1）} {f_ {18}（1）f_ {19}（1）}$

假设光源定位在 $\ textbf {r} ^ {2}$ 在原产地 $（0,0）。$ 光滑的镜子沿线定位 $Y = 0.$ 和 $y = 2$ 从 $x = 0.$ 到 $x = 10。$ 然后将光源定向成使得从其发出的光束使得一定角度均匀地选择，并且在 $15 ^ {\ circ}$ 和 $75 ^ {\ circ}$ 用阳性 $X$ -轴。然后允许光束在两个镜子之间来回反射，直到它“退出隧道”，即它交叉线 $x = 10。$

如果光束光束从其源传播的预期距离，直到它出口隧道可以表示为 $\ dfrac {10} {\ pi} \ ln（a + b \ sqrt {c}），$ 在哪里 $A，B，C$ 是正整数 $C$ 方形不断，然后找到 $A + B + C.$

一个功能 $f（x）$ 满足功能方程 $f（\ tan \ theta）= \ frac {\ sin ^ 2 2 \ theta} {4}$ 对于所有真实的人 $\θ.$ 。如果 $\ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} f（x）\ dx$ 等于 $\ dfrac {\ pi ^ a} {b}$ 对于正整数 $一种$ 和 $B.$ ，那是什么价值 $A + B.$ 还是

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