泰勒系列操纵

主要文章:泰勒级数

一个泰勒系列是一个无限次的多项式可以用来表示各种各样的函数，尤其是那些不是多项式的函数。它可以以许多创造性的方式组合起来，通过函数加、乘和合成的正常操作来帮助我们解决问题。我们也可以利用微分和积分的规则来发展新的和有趣的级数。

添加和减去功率系列可以简单地添加它们所代表的功能！在添加两个功率系列时，并不总是在其系数中展示可辨别的模式，写出了第一个若干总和或功率级别的差异略微的工作。

$文本\开始{对齐}\{笔系列:}\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nx ^ n + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} b_nx ^ n & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (an + b_n) x ^ n \ \ \文字{产品系列:}\离开(\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nx ^ n \) \离开(\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} b_kx ^ k \右)& = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {n} (a_kb_ {n - k}) x ^ n。结束\{对齐}$

幂级数是什么 $F (x) = e^x + \cos x$看起来像什么?

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我们知道 $e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{x ^ n} {n !｝$和 $x = \ displaystyle \ \因为sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ n \压裂{x ^ {2 n}} {(2 n) !｝$，所以它们的和就是

$e ^ x + x = \ displaystyle \ \因为sum_ {n = 0} ^ {\ infty}左(\ \压裂{x ^ n} {n !} + \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\right) \hspace{。1cm} \text{或}\hspace{。2cm} \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} x^n \left(\frac{1}{n!} + \frac{(-1)^nx^{n}}{(2n)!}\right).$

这个表达式不太实用，所以我们只找和式的前几项。

$\{对齐}开始e ^ x + \因为x & = \离开(1 + x + \压裂{x ^ 2} {2 !} + \压裂{x ^ 3} {3 !} + \压裂{x ^ 4} {4 !} + \压裂{x ^ 5} {5 !} + \压裂{x ^ 6} {6 !｝+\cdots \right) + \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \right) \\ &= 2 + x + \frac{x^3}{3!} + \frac{2x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots. \ _\square \end{aligned}$

我们可以看到，将两个函数的幂级数相加就像将它们相应幂的系数相加来创建一个新的幂级数一样简单。

然而，我们将在下一个例子中看到，两个幂级数的乘法将需要更多的努力……

幂级数是什么 $F (x) = e^x\cos x$看起来像什么?

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两个功率系列的产品将通过术语乘法进行一些紧密检查。它并不像乘以每个的系数一样简单 $x ^ n$！

$e ^ x x = \ \因为左(\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{x ^ n} {n !} \) \离开(\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(1)^ nx ^ {2 n}} {(2 n) !} \右)。$

列出每个级数的前几个项并根据它们的幂来收集项将会更容易。

$(1 + x + frac{x^2}{2!)} + \压裂{x ^ 3} {3 !｝+\cdots \right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right). \end{aligned}$

我们将对的幂按升序进行乘法运算 $x$，首先对常数进行分配和收集，然后再对系数进行计算 $x$,然后 $x ^ 2$，等等。

根据上面的乘法，我们可以看到幂级数展开如下:

$x = \ \大e x ^ \因为颜色{# 3 d99f6} {1} {# EC7300} {x} + \颜色+ \颜色{# D61F06} {0 x ^ 2}。$

如果我们想收集包含的所有条款，下一个术语会是什么 $x ^ 3？$

我们如何构造一个复合函数的泰勒级数，例如 $e ^ {x ^ 3}$？我们可以尝试使用泰勒级数的定义所规定的方法，但我们很快就会发现，由于过度使用乘积法则和链式法则，产生其系数所需的导数变得难以处理。

相反，我们可以用已知的泰勒级数 $e x ^$良好的使用。简单地替换的每个实例 $x$与 $x ^ 3$在 $e x ^$泰勒级数将建立泰勒级数 $e ^ {x ^ 3}$．

我们有

$E ^x = sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \水平间距{。2cm} \Longrightarrow \hspace{.2cm} e^{x^3} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(x^3)^n}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{n!}.$

此外，常数和附加的幂 $x$可以通过给定的幂级数乘或除而不打破求和。例如，如果我们想要建立幂级数 $4 x ^ 2 e ^ {x ^ 3}$，我们只需要在我们构造的级数中乘一个因子 $4 x ^ 2$．

$4 x ^ 2 e ^ {x ^ 3} = 4 x ^ 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{x ^ {3 n}} {n !} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{4x^{3n + 2}}{n!$

泰勒级数的一个令人着迷的结果是，微分和积分的过程相当有效。

$\压裂{d} {dx} \ sin (x) = \压裂{d} {dx} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ {n} \压裂{x ^ {2 n + 1}} {(2 n + 1) !} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ {n} \压裂{x ^ {2 n}} {(2 n) !} = \cos x。$

在sin的导数中，我们对这一项应用幂法则 $x ^ {2 n + 1}$sin的幂级数。这样做会产生一个深刻的结果:得到的和就是cos的泰勒级数!当涉及到处理导数时，我们发现泰勒级数是很好的，我们用这个事实来处理一些有趣的问题。

让我们看看如何处理这个级数 $\ displaystyle \压裂{1}{1 - x} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ n$能帮我们确定级数吗 $\ dfrac {x} {(1 - x) ^ 2}$．

${对齐}\ \开始压裂{d} {dx} \离开(\压裂{1}{1 - x} \右)& = \压裂{d} {dx} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ n \ \ \压裂{1}{(1 - x) ^ 2} & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} nx ^ {n}。结束\{对齐}$

用一次幂法则，我们就能得到泰勒级数 $\ dfrac {1} {(1 - x) ^ 2}$．非常神奇!但是，我们想要幂级数 $\ dfrac {x} {(1 - x) ^ 2}$，所以我们可以把上面的幂级数乘以一个额外的因子 $x$达到预期的结果。

$\压裂{x} {(1 - x) ^ 2} = x \ cdot \压裂{1}{(1 - x) ^ 2} = x \ cdot \离开(\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} nx ^ {n} \右)= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} nx ^ {n}。$

值得注意的是，由导数得到的和的第一项是0。这应该符合我们对无穷几何和的理解 $1 + x + x^2 + cdots$我们知道第一项的导数是0。因为和式的导数第一项是0，所以和式中不需要它。

$\压裂{x} {(1 - x) ^ 2} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} nx ^ {n} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} nx ^ {n}。$

这个结果就是成名的公式算术几何级数．

在对泰勒级数求导的主题上略有变化，我们会发现对泰勒级数进行积分同样有用，可以帮助我们揭示许多其他函数的级数展开。我们知道并且喜欢的泰勒级数 $谭\ displaystyle \ ^ {1} x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ n \压裂{x ^ {2 n + 1}} {2 n + 1}$可以通过对?的幂级数表示进行积分得到 $\ dfrac {1} {1 + x ^ 2}$．

我们知道 $谭\ ^ {1}x$是 $\ dfrac {1} {1 + x ^ 2}$．通过几何幂级数，我们知道

$\压裂{1}{1 + x ^ 2} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ nx ^ {2 n}。$

我们只需要对这个级数进行积分就能得到 $谭\ ^ {1}x$我们开始。

$\开始{对齐}\ int \压裂{dx} {1 + x ^ 2} & = \ int \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ nx ^ {2 n} dx \ \ \ tan ^ {1} x & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ n \压裂{x ^ {2 n + 1}} {2 n + 1} + c \{对齐}结束$

积分常数， $C$，是必要的，就像求不定积分时一样。的初始条件 $tan^{-1} 0 = 0$是否适合帮助我们确定的价值 $C$．

$谭\ ^ 0 = {1}\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ n \压裂{0 ^ {2 n + 1}} {2 n + 1} + C = C。$

证明

$\ displaystyle \ dfrac1 {2 !- 1 !｝- \dfrac1{4! - 3!} + \dfrac1{6!- 5!} - \dfrac1{8! - 7!} + \cdots = \int_0^1 \dfrac{\sin x}x \, dx.$

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自 $(n + 1) !- n != n \cdot n!$，方程的左边可以重写为 $\ sin (x) = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ dfrac {(1) ^ {k + 1}} {(2 k - 1) \ cdot (2 k - 1) !｝$．因为这个级数有点像泰勒级数 $\ sin (x)$以其为中心 $x = 0$,即 $\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ dfrac {(1) ^ {k + 1}} {(2 k - 1) !｝$，本能地认为这个系列类似于函数 $\ sin (x)$．

但它们究竟是如何联系的呢?众所周知的系列 $\ sin (x)$是 $\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ dfrac {(1) ^ {k + 1}} {(2 k - 1) !｝$，而我们的级数是 $\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ dfrac {(1) ^ {k + 1}}{{\颜色{# D61F06} {(2 k - 1)}} \ cdot (2 k - 1) !｝$．所以这里可能涉及到积分步骤?

如果我们重写一下，就更容易看出它们之间的关系了 $\ sin (x)$作为

${x^3}{3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5 !} - \ dfrac {x ^ 7} {7 !} + \cdots。$

除以 $x$给了

${x^2}{3!x ^} + \ dfrac {4} {5 !} - \ dfrac {x ^ 6} {7 !} + \cdots。$

如果我们从0到1对这个表达式进行积分，结果如下:

${对齐}\ \开始int_0 ^ 1 \ dfrac x \ {\ sin (x)}, dx & =左\ [1 - \ dfrac {x ^ 2} {3 !x ^} + \ dfrac {4} {5 !} - \ dfrac {x ^ 6} {7 !｝+\cdots \right ] _0^1 \\ &= 1 - \dfrac1{3\cdot3!} + \dfrac1{5\cdot5!} - \dfrac1{7\cdot 7!} + \cdots \\ &= \dfrac1{2! - 1!} - \dfrac1{4! - 3!} + \dfrac1{6!- 5!} - \dfrac1{8! - 7!} + \cdots.\ _\square \end{aligned}$