幂级数

一个幂级数它是一般形式的无穷级数吗

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} an(得到)^ {n} = a_0 + a₁(得到)+ a₂(得到)^ 2 + a_3 ^ 3 + \ cdots(得到),$

在哪里 $an$函数是否独立于 $x$而且 $c$是一个任意常数。因此,每个系数 $（$如。 $a_1,, \ ldots)$可结果当号码为一个 $n ^ \文本{th}$一项代入给定的公式。假设 $n ^ \文本{th}$术语 $an$等于 $\压裂{n !} {n + 1}$．然后 $5 ^ \文本{th}$术语是 $\压裂{5 !}{5+1} = \frac{120}{6} = 20$．

幂级数是与主题密切相关的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="" target="_blank">泰勒级数因为它可以用来逼近关于值的某些函数 $x = c$．

任何幂级数都可以给出近似中心用常数表示 $c$以上。幂级数只要不偏离这个中心太远，就会收敛。

幂级数的常见问题是收敛半径和收敛区间一个系列的。

幂级数最常见的例子之一是a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progressions/" class="wiki_link" title="" target="_blank">几何级数．的值 $an$的值始终保持不变 $c$设置为0。因此,

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty}一个x ^ {n} = ax + ax + ^ 2 + ax ^ 3 + \ cdots,$

每一项都增加一个因子 $x$．

幂级数的另一个常见应用是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/maclaurin-series/" class="wiki_link" title="" target="_blank">麦克劳林级数它是一种特殊类型的泰勒级数，增加了中心只与值有关的规定 $x = 0$．所以,

$f(0) \大约\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{f ^ {(n)} (0)} {n !} x^n = f(0) + f^{(1)}(0)x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!} x ^ 2 + \压裂{f ^ {(3)} (0)} {3 !x ^ 3 + \ cdots}$

可以用来近似任何函数吗 $f (x)$的价值 $x = 0$，当求和项越多，结果越准确。

一般来说，一个函数的形式 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f (n)$会收敛 $L < 1$这样

$L = \ lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{f (n + 1)} {f (n)} \ |。$

这是一个标准的过程，被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-ratio-test/" class="wiki_link" title="" target="_blank">比值判别法．

求幂级数的收敛半径和收敛区间 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(3)^ n} {n}。$

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首先，对函数执行比率检验。

${对齐}L & = \ \开始lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{f (n + 1)} {f (n)} \右| \ \ & = \ lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{(3)^ {n + 1}} {n + 1} \ div \压裂{(3)^ n} {n} \右| \ \ & = \ lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{n (3)} {n + 1} \ |。结束\{对齐}$

的函数 $x$，我们可以把它从极限中去掉，因为它是独立的 $n$：

${对齐}L & = \ \开始左右| x - 3 \ | \ * \ lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{n} {n + 1} \右| \ \ & = \左| - 3 \右| \ * 1 \ \ & = \左| 3 | \。结束\{对齐}$

考虑到 $L < 1$为了使级数收敛，它必须是这个 $\左| x-3 \右| < 1$当它是收敛的。当你有一个表达式的形式 $\左| x + a \右| < r$与 $一个\ \ mathbb {R}$,收敛半径的值 $r$．这个例子中的收敛半径是1。

的收敛区间的所有值的集合 $x$这个级数是收敛的。利用上面的不等式，它一定是

${对齐}\ \开始左右| x - 3 \ | & < 1 \ \ 1 < 3 & < 1 \ \ 2 < x & < 4。结束\{对齐}$

然而，这并不像乍一看那么简单。我们还需要检查区间的边界值，以检查这些值的级数是否收敛。因此,对于 $x = 2时,$我们有

$\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(2 - 3)^ n} {n} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(1)^ n} {n},$

,使用交变系列试验,是收敛的。现在,对于 $x = 4,$

$\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(4 - 3)^ n} {n} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{1 ^ n} {n} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{1}{n},$

作为标准结果，它不收敛。的收敛区间 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(3)^ n} {n}$是 $2 \leq x < 4$． $_ \广场$

求收敛半径 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n !\ cdot x ^ n。$

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对函数执行比率测试:

${对齐}L & = \ \开始lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{(n + 1) !\ cdot x ^ {n + 1}} {n !正确\ cdot x ^ n} \ | \ \ & = \ lim_ {n \ \ infty} \大| x (n + 1) \ | \ \ & = \左| x \右| \ cdot \ lim_ {n \ \ infty} \大| | (n + 1) \大。结束\{对齐}$

这个例子不同于上面的例子，因为极限不收敛于1 $n \ \ infty$．的任何非零值 $x$， $l$会永远等于 $\ infty$．唯一的价值 $x$能不能跟这有区别呢 $0$．当这是真的， $L = 0,$它也满足收敛的条件 $(L < 1)。$因此，级数的收敛半径为0，收敛区间为 $x = 0$． $_ \广场$

求收敛半径 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(1)^ n x ^ {2 n}} {2 ^ {2 n} (n !) ^ 2}。$

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对函数执行比率测试:

$\{对齐}开始L & = \ lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{(1)^ {n + 1} x ^ {2 n + 2}} {2 ^ {2 n + 2} \大((n + 1) ! \大)^ 2}\ div \压裂{(1)^ n x ^ {2 n}} {2 ^ {2 n} (n !) ^ 2} \右| \ \ & = \ lim_ {n \ \ infty} \左| - \压裂{x ^ 2} {4 (n + 1) ^ 2} \右| \ \ & = \ lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{x ^ 2} {4 (n + 1) ^ 2} \右| \ \ & = \左| x ^ 2 \ | \ cdot \ lim_ {n \ \ infty} \左| \压裂{1}{4 (n + 1) ^ 2} \ |。结束\{对齐}$

在这种情况下，极限趋于0，因此这个结果对所有情况都成立 $x$．这意味着 $x$可以取任何值和 $L = 0 < 1，$这意味着 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(1)^ n x ^ {2 n}} {2 ^ {2 n} (n !) ^ 2}$将为所有人汇聚 $x$．在这个例子中，收敛半径是， $\ infty$的收敛区间为 $-\infty < x < \infty$． $_ \广场$

例子1和2取自James Stewart的《微积分7E早期先验》。

特别感谢Thomas Shelly, Mount Holyoke学院的数学教授。