指数函数的导数gydF4y2Ba

为了求导指数函数gydF4y2Ba

$F (x) = a^x，gydF4y2Ba$

我们不能使用幂法则，因为我们要求指数是一个固定的数字，基数是一个变量。相反，我们要从导数的定义开始gydF4y2Ba

$\{对齐}开始f (x) & = \ lim_ h \ rightarrow {0} \ dfrac {f (x + h) - f (x)} {h} \ \ & = \ lim_ h \ rightarrow {0} \ dfrac{一个^ {x + h} - x ^} {h} \ \ & = \ lim_ h \ rightarrow {0} \ dfrac {x ^ ^ h - x ^} {h} \ \ & = \ lim_ h \ rightarrow {0} \ dfrac {x ^ \大(^ h - 1 \大)}{h}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

请注意,gydF4y2Ba $x ^gydF4y2Ba$不受限制，因为它没有限制gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$的值，所以对我们来说它是常数。因此我们可以把它提出来。这给了gydF4y2Ba

$F '(x) = a^x \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^h -1}{h}。gydF4y2Ba$

注意，上面的极限正是导数的定义gydF4y2Ba $F (x) = a^xgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $X = 0gydF4y2Ba$,即gydF4y2Ba $f (0)gydF4y2Ba$．因此，导数变成gydF4y2Ba

$F '(x) = F '(0) a^x。gydF4y2Ba$

的定义之一gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$这是唯一的正数吗gydF4y2Ba $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1gydF4y2Ba$．这正是我们想要的。gydF4y2Ba

假设我们使用的是自然指数，我们得到如下:gydF4y2Ba

$F (x) = e^x \意味着F '(x) = e^x。gydF4y2Ba$

对所有gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，但是，我们必须首先将其转换为gydF4y2Ba

$A = e^{\ln{A}}。gydF4y2Ba$

现在，我们可以做以下事情:gydF4y2Ba

$f (x) = ^ x = \大(e ^ {\ ln{一}}\大)x = e ^ ^ {x \ ln{一}}。gydF4y2Ba$

由之前的结果gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$还要记住gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$是常数，哪个使gydF4y2Ba $\ ln{一}gydF4y2Ba$常数gydF4y2Ba $)，gydF4y2Ba$我们得到了gydF4y2Ba

$F '(x) = e^{x \ln{a} (\ln{a})= a^x \ln{a}。gydF4y2Ba$

总之，gydF4y2Ba $\boxed{\frac{d}{dx} (e^x) = e^x}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\boxed{\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln a}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

区分gydF4y2Ba $e ^ {2 x}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

使用gydF4y2Ba链式法则gydF4y2Ba与gydF4y2Ba $F (x) = e^xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $G (x) = 2xgydF4y2Ba$，我们得到gydF4y2Ba $F \circ g(x) = F (2x) = e^{2x}gydF4y2Ba$．我们计算一下gydF4y2Ba $F '(x) = e^xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $G '(x) = 2gydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba

$(f \保监会g)大(f (x) = \ \中国保监会g (x) \大)\乘以g (x) = f (2 x) \ * 2 = 2 e ^ {2 x}。gydF4y2Ba$

因此，求导gydF4y2Ba $e ^ {2 x}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $x 2 e ^ {2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

区分gydF4y2Ba $2 ^ xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

首先转换成碱gydF4y2Ba $egydF4y2Ba$如下:gydF4y2Ba

$2 ^ x = \离开(e ^ {\ ln 2} \右)x = e ^ ^ {x \ ln 2}。gydF4y2Ba$

接下来，我们应用链式法则gydF4y2Ba $F (x) = e^xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $G (x) = x \ln 2gydF4y2Ba$获得gydF4y2Ba

$(f \保监会g)的f (x) =(‘\保监会g) (x) \乘以g”(x) = \ ln 2 \ * e ^ {x \ ln 2} = \ ln 2 \ * 2 ^ x。gydF4y2Ba$

因此，求导gydF4y2Ba $2 ^ xgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\ln 2 \ * 2^xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

求导数gydF4y2Ba $F (x) = e^x (x^2 + 1)gydF4y2Ba$

---

让gydF4y2Ba $U = e^xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $V = x^2 + 1gydF4y2Ba$这gydF4y2Ba $F (x) = uvgydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $U ' = e^xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $V ' = 2x。gydF4y2Ba$

作为gydF4y2Ba $F (x) = uv，gydF4y2Ba$我们得到了gydF4y2Ba $F '(x) = uv' + u'v，gydF4y2Ba$这意味着gydF4y2Ba

$f (x) = e x ^ (2 x) + (x ^ 2 + 1) e e ^ ^ x = x (x ^ 2 + 1 + 2 x) = e ^ x (x + 1) ^ 2。\ _ \广场gydF4y2Ba$

求导数gydF4y2Ba $F (x) = xe^x\ sinx。gydF4y2Ba$

---

让gydF4y2Ba $U (x) = x v(x) = e^x，gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $W (x) = \ sinxgydF4y2Ba$这gydF4y2Ba $F (x) = u(x)v(x)w(x)gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $U '(x) = 1, v'(x) = e^x, w'(x) = \cos x。gydF4y2Ba$

现在,gydF4y2Ba

$\{对齐}开始f (x) & = u (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) \ \ \ \ \ Rightarrow f (x) & = u的(x) v (x) w (x) + u (x)的(x) w (x) + u (x) v (x) w”(x) \ \ & = xe ^ \因为x + xe x ^ \ sin (x) + e ^ x \ sin (x) \ \ & ^ = e x (x \ cos (x + x \ sin (x) + \ sin (x)),广场\ _ \ \{对齐}gydF4y2Ba$

求导数gydF4y2Ba $F (x) = 5^x + x^3e^x。gydF4y2Ba$

---

写gydF4y2Ba $U (x) = 5^xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $V (x) = x^3e^xgydF4y2Ba$这gydF4y2Ba $F (x) = u(x) + v(x)gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $U '(x) = 5^x \cdot \ln 5gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $v ' (x) = \大(3 x ^ 2 \大)e ^ x + x ^ 3 ^ (e x) = x ^ 2 e ^ x (3 + x)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

现在,gydF4y2Ba

$\{对齐}开始f (x) & = u (x) + v (x) \ \ \ \ \ Rightarrow f (x) & = u的(x) + v”(x) \ \ & = 5 ^ \ cdot \ ln 5 + x ^ 2 e ^ x (x + 3) \ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $F (x) = 7^{x^3 + 3x}gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $X > 0，gydF4y2Ba$然后找到gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

写gydF4y2Ba $U (x) = x^3 + 3xgydF4y2Ba$这gydF4y2Ba $F (x) = 7^{u(x)}gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $U '(x) = 3x^2 + 3gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

现在,gydF4y2Ba

$\{对齐}开始f (x) & = 7 ^ {u (x)} \ \ \ \ \ Rightarrow f (x)的& = \大(7 ^ {u (x)} \ cdot \ ln 7 \大)\ cdot u ' (x) \ \ & = 3 (x ^ 2 + 1) \大(7 ^ {x ^ 3 + 3 x} \ cdot \ ln 7 \大)。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$