Rank-Nullity定理

的rank-nullity定理州,排名和零度的维度内核)和等于给定的列数矩阵．如果有一个矩阵 $米$与 $x$行和 $y$那么，字段上的列 $\text{rank}(M) + \text{null}(M) = y。$这可以进一步推广到线性映射:如果 $T: V \右tarrow W$那么是线性映射吗 $\文本{暗}\大文本{im} (T)(\ \大)+ \文本{暗}\大文本{ker} (T)(\ \大)={暗}\文本(V)。$

将秩零性定理进一步推广基本的子空间和线性代数基本定理．

秩零定理在通过计算另一个来计算其中一个时很有用，这是有用的，因为它通常比求秩容易得多(反之亦然)。

考虑到矩阵

$= \开始{pmatrix} 3 & 1 \ \ 6 & 2 \ {pmatrix}结束。$

这里，秩是1，因为基础 $左\ \ {\ {pmatrix}开始3 \ \ 6 \ {pmatrix}, {pmatrix} 1 \ \ 2 \ \开始结束{pmatrix} \右\}$可以简化为 $左\ \ {{pmatrix} 1 \ \ 2 \ \开始结束{pmatrix} \右\}$．的内核 $一个$向量是这样的 $Av = 0$，这是一个向量空间跨越的 $左\ \ {{pmatrix} 1 \ \ 3 \ \开始结束{pmatrix} \右\}$它的维数是1。因此秩和零都是1，并且和为2，列的数量 $一个$．

这也可以应用于非方阵。例如，在矩阵中

$= \开始{pmatrix} 2 &5&-3 \ \ 1 4和2 \ {pmatrix},$

秩是2，由的前两列张成 $一个$核是由。张成的向量空间 $左\ \ {\ {pmatrix} 22 \ \ 7日开始\ \ 3 \结束{pmatrix} \ \}$因此它的维数为1。如预期的那样，秩和零的和是3，列的数量 $一个$．

秩零定理有许多证明。最简单的还原法是Gauss-Jordan形式因为它更容易分析。因此证明策略很简单:通过分析行操作对秩和零的影响，证明秩零定理可以简化到高斯-乔丹矩阵的情形，然后证明秩零定理对高斯-乔丹矩阵是成立的。

的排名一个矩阵的 $一个$的高斯-乔丹形式的秩等价于 $一个。$的内核的 $一个$等价于Gauss-Jordan形式的零空间 $一个$．

这个定理的第一部分是清楚的，因为秩在行操作下是不变的，和高斯-乔丹形式 $B$的 $一个$是通过行运算得到的。分析内核的方法与此类似:假设 $x \ \文字{零}(A)$,所以 $Ax = 0$通过定义。的高斯-乔丹形式 $一个$是通过行运算得到的，所以可以写成 $妈$在哪里 $米$是一些可逆矩阵．然后 $Bx = MAx = M0=0$,所以 $x \ \{零}(B)文本$．类似地,如果 $x \ \{零}(B)文本$,然后 $x = M^{-1}0 = 0$,所以 ${零}\文本(A) ={零}\文本(B),$根据需要。

高斯-乔丹式矩阵的秩是前导变量的个数。高斯-乔丹式矩阵的零值是自由变量的个数。

根据定义，一个矩阵的高斯-乔丹形式由一个矩阵组成，它的非零行前导为1。这些不能在行操作下消失，所以所有非零行都是线性无关的。因此，秩等于前导1的个数，这相当于前导变量的个数。

现在假设有 $米$主要变量和 $n$自由变量。那么向量

$v_1 = \ {pmatrix}开始0 0 \ \ \ vdots \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ vdots \ \ 0 \ {pmatrix}, v_2 = \ {pmatrix}开始0 \ \ \ \ \ vdots \ \ 0 1 \ \ \ \ \ vdots \ \ 0 \ {pmatrix}, \ ldots v_n = \ {pmatrix}开始0 \ \ \ \ \ vdots \ \ 0 0 \ \ \ vdots \ \ 1 \ \ \ {pmatrix}结束$

形成矩阵的高斯-乔丹形式的零空间的一组基。这些向量显然是线性无关的，因此零值是 $n$——自由变量的个数。

秩零定理是这两个结果的直接结果。矩阵的秩 $一个$矩阵的零空间 $一个$等价于Gauss-Jordan形式的秩和零空间 $一个$，因此足以证明高斯-乔丹形式矩阵的秩零定理。但是高斯-乔丹式矩阵中的列数恰好是先导变量数(上面显示为秩)和自由变量数(上面显示为零)的和，因为每个变量要么是先导变量，要么是自由变量。这就完成了证明。 $_ \广场$

• 基本的子空间
• 排名
• 内核(零空间)
• 高斯消去法
• 矩阵