高斯消去法

减少行行变换的过程有什么变化吗矩阵变成(简化)行阶梯形。在行简化阶梯形中，矩阵的每一行都比前一行有更少的依赖性，因此求解方程组是一个更容易的任务。行约简背后的思想是将矩阵转换为“等效”版本，以简化某些矩阵的计算。它的两个主要目的是解决线性方程组然后计算矩阵的逆．

卡尔·弗里德里希·高斯支持行简化的使用，就像通常所说的那样高斯消去法．它被Wilhelm Jordan进一步推广，他用他的名字命名了行约简来计算矩阵逆的过程，高斯消去法．

一个方程组可以用几种不同的矩阵形式表示。一种方法是将系统实现为系统中的系数和变量的列向量的矩阵乘法。这个方阵叫做系数矩阵因为它由方程组中变量的系数组成:

$文本\{产品矩阵:}\四\开始{数组}{c c c c c c c} 2 x和y & + + & 4和7 z & = & 4 \ \ 3 x & + & 3 y和z + & 2 & = & 8 \ \ 5 x和z + & 6 y & + & 3 & = & 0 \结束数组{}\ longrightarrow \离开[\开始{数组}{c c c} 2 & 4和7 \ \ 3和3 & 2 \ \ 5 & 6 & 3 \结束数组{}\]\离开[\{数组}{c}开始x \ \ \ \ z \结束数组{}\右)= \离开[\{数组}{c}开始4 \ \ 8 \ \ 0 \结束数组{}\]。$

另一种表示形式叫做An增广矩阵是通过将矩阵的列拼接在一起并由竖条分割而创建的。系数矩阵被放在竖条的左边，而每个方程右边的常数被放在竖条的右边:

$文本{增广矩阵:}\ \四\四\开始{数组}{c c c c c c c} 2 x和y & + + & 4和7 z & = & 4 \ \ 3 x & + & 3 y和z + & 2 & = & 8 \ \ 5 x和z + & 6 y & + & 3 & = & 0 \ \ \{数组}结束\ longrightarrow \离开[\开始{数组}{c c c | c} 2 & 4 & 7 & 4 \ \ 3 & & 2 & 8 \ \ 5 & 6 & 3 & 0数组{}\ \端)。$

可以对表示这些系统的矩阵进行操作，以提供易于阅读的解决方案。这种操作称为行约简。行约简技术将矩阵转换为行简化阶梯形不改变方程组的解。

的行简化阶梯形一个矩阵的 $一个$ $\大($表示 ${rref} \文本(A) \大)$是一个等维矩阵，满足以下条件:

1. 每一行中最左边的非零元素是 $1$．这个元素被称为枢轴。
2. 任何列最多可以有 $1$主。如果一列有一个主元，那么该列中的其余元素将是 $0$．
3. 对于任意两列 $C_ {1}$而且 $C_ {2}$它们的轴是一排排的 $R_ {1}$而且 $R_ {2},$分别，如果pivot in $C_ {1}$在主轴的左边 $C_ {2}$,然后 $R_ {1}$以上 $R_ {2}$．换句话说，对于任意两个主轴 $P_ {1}$而且 $P_ {2}$,如果 $P_ {2}$在…的右边 $P_ {1}$,然后 $P_ {2}$低于 $P_ {1}$．
4. 仅由0组成的行位于矩阵的底部。

为了将任意矩阵转换为行简化阶梯形，需要进行高斯-约当消去。有三种初等行变换用于实现行简化阶梯形:

1. 交换两行。
2. 将一行乘以任何非零常数。
3. 将一行的标量倍数添加到任何其他行。

找到 ${rref} \文本(A)$采用高斯-乔丹消去，其中 $左= \[开始\{数组}{c c c} 2 & 6 & 2 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9 \ \ \{数组}结束\右)。$

---

第一行最左边的元素必须是1，所以第一行被2除:

$\left[\begin{array}{c c c} 2 & 6 & -2\\ 1 & 6 & -4 \\ -1 & 4 & 9 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第一行除以2。}]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9数组{}\ \ \ \端)。$

左上角的元素是一个主元，所以第一列的其他元素必须是0。这可以通过用第二行减去第一行来实现。此外，可以将第一行加到第三行，以获得第一列中所需的0:

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9 \ \ \{数组}结束\对]\ ce{- >[\大型R_2——R_1 \文本{和}R_3 + R_1]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 3 3 \ \ & 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端)。$

现在最左边的一列是 $左\[开始\{数组}{c} 1 \ \ \ \ 0数组{}\ \ \ \端),$中间的元素可以用第二行除以3得到1:

$\left[\begin{array}{c c c} 1 & 3 & -1\\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 7 & 8 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第二行除以3。}]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端)。$

第二列的顶部和底部元素可以通过适当的行操作置0:

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端]\ ce{- >[\大型R_1 - 3 r_2 \文本{和}R_3 - 7 r_2]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 15数组{}\ \ \ \端)。$

中间这一列 $左\[开始\{数组}{c} 0 1 \ \ \ \ \ \ \{数组}结束\右),$该方法通过将第三行除以15继续到第三列:

$\left[\begin{array}{c c c} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 15 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第三行除以15。}]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]。$

在该过程的最后一步，第三行的倍数被添加到第一行和第二行，这样最后一列就变成 $c数组左\[开始\{}{}\ \ 0 \ \ 1 \ \ \{数组}结束\]:$

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]\ ce{- >[大型R_1 - 2 R_3 \ \{和}R_2 + R_3文本。]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]。\ _ \广场$

给定一个方程 $A x = b$有一个唯一的解 $x$时，可以通过计算来解这个方程 $一个^ {1}$然后求值 $A^{-1}A x = x = A^{-1} b。$然而，它需要更多的时间来计算 $一个^ {1}$ $（$然后乘以 $b)$而不仅仅是解 $x$．出于这个原因， $一个^ {1}$只有当它本身需要时才有用，也许是解一般方程。

对矩阵执行行约简 $[a \ i]$获得某种形式的东西 $[i \ b]$．然后, $B = a ^{-1}$提供了反问题的解决方案。

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