量子纠缠

量子纠缠当系统中有多个粒子时发生量子力学以这样一种方式相互作用，使得粒子不能被描述为独立的系统，而只能被描述为一个整体系统。测量(例如，一个纠缠电子的自旋)可能会立即影响另一个电子在任意远处的自旋，显然(但不是实际上)快于光速的极限狭义相对论．事实上，电子自旋测量可以高度相关，违反贝尔不等式，是现代量子力学理论和解释的奠基石实验结果之一。

量子纠缠的性质可能会产生量子隐形传态，其中一个纠缠粒子的状态被从一个位置发送到另一个位置，而不移动粒子。这一现象可能被证明在新兴的领域是非常有用的量子计算在美国，通过将量子态暴露在环境中而不丢失信息的方法受到高度重视。

在量子纠缠中，对一个粒子的自旋状态的测量会影响与第一个粒子纠缠的任意远的另一个粒子的自旋状态。

最初的斯特恩-格拉赫实验检查了银原子的行为磁场．磁偶极子与磁场耦合;他们感觉到一种力量 $F = \nabla (\vec{\mu} \cdot \vec{B})$在哪里 $\μ$是磁偶极矩而且 $B$是磁场矢量。因为银原子只有一个原子价电子零轨道角动量(一个 $5 s$电子)，银原子与磁场的任何耦合都是由于固有磁偶极矩或自旋电子的。由于只有价电子的行为才重要，本文的其余部分将涉及最初使用银原子的电子。

在斯特恩-格拉赫实验中，磁场梯度 $B \微分算符$沿z轴对齐并设为某个常数 $C$因此，电子在磁场中根据磁偶极矩发生偏转: $F = C\mu$．如果电子在z方向上自旋向上，它们就向上偏转，而如果电子在z方向上自旋向下，它们就向下偏转。这个实验为自旋量子化提供了第一个证据:在磁铁后面的探测屏幕上，只出现了两个峰值，而不是一个连续的频谱，对应于自旋的两个可能的量子化值，而不是可能的磁偶极矩的连续分布。

斯特恩-格拉赫实验的实验设置。电子源将电子发射到磁梯度中，在磁梯度中，电子根据其固有磁矩发生偏转。在磁体之外只检测到两个峰值，对应于两个可能的自旋值。

整个斯特恩-格拉赫实验可以被认为是一个黑盒子，能够测量进入的电子是自旋向上还是自旋向下。

在EPR思想实验中，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森考虑了一个由两个电子组成的系统，它们通过两个斯特恩-格拉赫仪器向相反的方向发送，测量它们各自的自旋。如果电子是纠缠，那么当电子1被测量为自旋向上时，电子2被测量为自旋向下的时间占很大比例，反之亦然。在量子力学中“纠缠”的精确含义将在下面从数学上讨论。结果似乎表明，在一台斯特恩-格拉赫仪器上，测量结果立即传递到另一台仪器上。虽然EPR自己没有进行实验，但实际的实验结果与他们的数学计算是一致的。的非定域性EPR悖论的存在违反了相对论原理，因为似乎信息以比光速更快的速度被传递到遥远的地方。

EPR思想实验的设置:自旋纠缠电子以相反的方向被发送到两个遥远的斯特恩-格拉赫仪器，在那里测量它们的自旋，揭示了显著的相关性。

EPR试图避免这一结论，声称一定有一些局部隐变量:在电子源处，当产生纠缠电子时，一些无法测量的变量决定了自旋测量的结果。他们认为这意味着量子力学理论还不完整，因为电子的自旋和空间波函数不包括隐变量，因此不能解释他们观察到的所有物理现象。然而在20世纪60年代，贝尔定理表明事实并非如此:没有局部隐变量理论可能解释自旋纠缠电子测量中存在的相关性程度。

纠缠通常发生在亚原子尺度上，通过以相关方式同时产生两个电子的过程，尽管复杂的光纤系统可以用于产生例如具有纠缠极化的两个光子系统。

在量子力学中，单电子自旋是用二维矢量来描述的向量空间．基向量是向量的特征向量 ${年代}_z \的帽子$算符给出电子沿轨道的自旋 $z$轴，并被标记 $| 0 \捕杀$而且 $| 1 \捕杀$， $| + \捕杀$而且 $| - - - - - - \捕杀$,或 $| \向上光标键\捕杀$而且 $| \ downarrow \捕杀$这取决于上下文。在本文中，将使用后一种符号。一般来说，任意电子自旋状态可以是“自旋向上”和“自旋向下”状态的叠加:

$|\Psi\rangle = c_1 |\上行\rangle + c_2 |\下行\rangle，$

在哪里 $c₁$而且 $c₂$某些复常数被标准化了吗 $|c_1|^2+|c_2|^2 = 1$．这个符号表明单自旋态可以写成向量:

$|\Psi \rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}。$

自旋态是这样定义的旋转操作符在z方向上，

${年代}\帽子_z = \压裂{\百巴}{2}{pmatrix} \开始1 & 0 0 & 1 \ \ \ {pmatrix},$

有特征值 $\ \下午压裂{\百巴}{2}$对应于特征向量 $| \向上光标键\捕杀$而且 $| \ downarrow \捕杀$．这个运算符通过简单的矩阵乘法作用于自旋态的向量表示。

在双粒子体系中，两个电子的自旋可以用张量积空间．两个电子自旋态的张量积在a中四维向量空间，基向量标记为:

$|\上罗\rangle\otimes|\上罗\rangle， \ |\上罗\rangle\otimes|\下罗\rangle， \四|\下罗\rangle\otimes|\上罗\rangle， \四|\下罗\rangle\otimes|\下罗\rangle。$

两个态的张量积 $| x \捕杀$而且 $| y \捕杀$遵守以下规则:

1)缩放张量积等价于缩放任一状态:

$C (|x\rangle \otimes |y\rangle) = (C |x\rangle) \otimes |x\rangle \otimes (C |y\rangle)。$

2)张量积在第一和第二槽都是分布的:

$\begin{aligned} &|x rangle otimes (|y_1 rangle + |y_2 rangle) = |x rangle otimes |y_1 rangle + |x rangle otimes |y_2 rangle &(|x_1 rangle + |x_2 rangle) \otimes |y rangle = |x_1 rangle otimes |y rangle + |x_2 rangle otimes |y rangle end{aligned}$

双自旋系统的任意张量积态可以在四维基下表示为:

$|\Psi\rangle = c_{11} |\uparrow\rangle\otimes|\uparrow\rangle + c_{12} |\uparrow\rangle\otimes|\downarrow\rangle + c_{21} |\downarrow\rangle\otimes|\uparrow\rangle + c_{22} |\downarrow\rangle\otimes|\downarrow\rangle$

这种表示法表明，用矩阵表示双自旋状态更方便，类似于单自旋状态的向量表示:

$| \ Psi \纠正= \ {pmatrix}开始c_ {11} & c_ {12} \ \ c_ {21} & c_ {22} \ {pmatrix}结束。$

要对双自旋系统进行测量，需要指定作用于每个独立空间上的算子。例如，要测量第一个粒子的自旋，使用写为的运算符 ${S {S \otime我$，它测量第一个粒子在z方向上的自旋，并作用于第二个空间作为恒等式。为了同时测量两个粒子在z方向上的自旋，使用 $\hat{S}_z \otimes \hat{S}_z$等等。

定义了这个符号之后，现在就有可能提出一个明确的纠缠的数学标准，这对于证明量子信息理论中的事物是有用的。

双电子自旋态是A产品状态如果它可以写成两个独立的单自旋态的张量积。

有些状态显然是产物状态: $|\上行\rangle \otimes |\下行\rangle$，例如，显然是的产物 $| \向上光标键\捕杀$而且 $| \ downarrow \捕杀$．因此，这种状态可以被描述为，只需要把每个独立的单自旋状态独立，而忽略另一个。一个国家，比如 $|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle + |\downarrow\rangle \otimes |\uparrow\rangle$，但显然不是产物状态。然而，并不是所有的情况都如此明显，这就是为什么制定一个精确的数学标准是重要的。

上面的直觉提示了纠缠的定义:

双电子自旋态是纠缠如果不是积态，即如果用矩阵表示 $米$不满足的状态 $\det M = 0$．

对于多于两个电子的状态，这个条件实际上太强了——如果 $\det M \neq 0$,然后所有电子的自旋是纠缠的。但只要有两个电子在多粒子态中被纠缠，整个态就被认为是纠缠态了。对于一般的多粒子状态，更准确的条件是 $\text{rank} M \geq 2$，因为这等价于二维子空间中的纠缠。注意，这个条件简化为 $\det M \neq 0$对于双电子自旋态。

挑战问题:证明上述纠缠的决定条件

这种纠缠定义的原因如上所述。如果两个自旋态可以写成积态，就好像每个自旋都是独立的。对每一个旋转的测量都不影响其他旋转。但如果一个双自旋态是纠缠态，这个态不是积态的事实意味着在一个空间中坍缩到一个特征向量也会导致在另一个空间中坍缩。因此，无论另一个电子的空间位置如何，对一个自旋的测量都会通过影响对另一个自旋的可能测量来立即影响任何纠缠自旋!然而，值得注意的是，这并没有违反狭义相对论:信息不能通过纠缠比光速还快;纠缠的影响只能在两个观察者见面比较自旋测量后才能看到。

考虑以下给出的纠缠态:

$|\Psi_E \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle - |\downarrow\rangle \otimes |\uparrow\rangle)，$

而非纠缠态由

$|\Psi_N \rangle = \frac{1}{\根号{2}}(|\uparrow\rangle \otimes |\uparrow\rangle + |\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle)。$

证明测量第一个粒子的自旋 $| \ Psi_E \捕杀$影响在每种可能状态下找到第二个粒子的概率，而相同的测量为 $| \ Psi_N \捕杀$不影响结果。

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解决方案:

对于纠缠态，在测量之前，第二个粒子有相同的机会处于自旋向上或自旋向下的状态。在用算子测量了第一个粒子的自旋之后 ${S {S \otime我$，如果第一个电子处于自旋向上的状态， $| \ Psi_E \捕杀$崩溃, $|\上行\rangle \otimes |\下行\rangle$第二个电子必须处于自旋向下状态。如果第一个电子处于自旋向下的状态，则相反;因此，第一个电子的状态的测量已经影响了整个系统的状态。

对于非纠缠态，找到自旋向上态的第一个粒子的概率是1。测量后，状态没有改变，第二个粒子仍然处于两个自旋状态的相等叠加状态。注意，也存在非纠缠态，测量第一个粒子会改变整个自旋波函数，而不改变第二个粒子的状态。