命题逻辑

顾名思义命题逻辑是一个研究的数学逻辑的分支，研究逻辑之间的关系命题(或陈述、句子、断言)作为一个整体，并通过逻辑连接起来联系方式．

命题逻辑也被称为命题逻辑句子的逻辑那命题演算和命题演算．它在各种领域是有用的，包括但不限于：

• 工作流程问题
• 计算机逻辑门
• 计算机科学
• 游戏策略
• 电气系统设计

在命题逻辑声明（或命题)是由一个符号(或信）与其他语句的关系通过一组符号（或联系方式）.这个陈述是用它来描述的真值这是真正的或错误的．

$\ color {＃d61f06} \ textbf {命题}$

一种命题是一个陈述，完整，这是真假的。例如，一个命题可能是：

所有的大象都是绿色的。

与三段论逻辑不同，在命题逻辑中，这一命题是完整的，通常用一个符号来表示，我们只关心这一命题的真与假，而不关心这一命题中的个别条件。

${# D61F06} \颜色\ textbf{命题字母}$

在命题逻辑中，a命题按照惯例，用大写字母表示，通常是黑体。例如，上面的命题可以用字母来表示一种．

A：所有的大象都是绿色的。

${# D61F06} \颜色\ textbf{真值}$

每一个命题被分配A.真值的真正的或错误的．在其他领域(例如计算机)逻辑门)，这些值由二进制表示形式给出 $1$(真正的)和 $0.$(假)。

我们这么说 $v (P)$评估命题 $P.$，即返回其真值．

${# D61F06} \颜色\ textbf{连接词}$

在命题逻辑中，命题之间的关系用联系方式．

本质上有五种不同联系方式概述如下表:

假设我们想说“如果下雨，杰克就不会走到学校”

我们首先将这两个命题表示为命题的信：

• 一种： 下雨了
• B.杰克不会走着去学校

然后我们用条件连接词来陈述。

一种 $\,$B. $_ \广场$

为了澄清一个命题或一个连接词的意思，用一个真值表使用。

真值表是一种形象化命题真值的方法。的值真正的由a表示1和值错误的由a表示0.“。

例如，考虑以下命题:

• 一种马蒂穿着绿色的靴子。
• B.马蒂有一只狗。
• C：马蒂戴着绿色靴子，马蒂有一只狗。

主张C具有下列真值:

• 如果马蒂不穿绿靴子也不养狗，那就求婚C是错误的．
• 如果马蒂不穿绿靴子却养了只狗，那就求婚C是错误的．
• 如果马蒂穿绿靴子却没养狗，那就求婚C是错误的．
• 如果马蒂穿绿靴子养狗，那就求婚C是真正的．

代表在一个真值表，我们对上述每个陈述有一行（包括戴着绿色靴子的所有可能组合和/或具有狗），每列代表上面每个命题A，B和C的可能状态．

因此，上面的四个语句在以下真实表中表示：

联系方式是表示命题之间关系的逻辑符号。

有五种基本连接词:

• 否定
• 连词
• 析取
• 条件
• 双条件的

下面进一步描述这些概念。

${# D61F06} \颜色\ textbf{否定}$

否定是一个一元逻辑连接词。对于任何一个命题 $P.$的否定 $P.$,表示 $\ neg P,$一个命题是否暗示了这一点 $P.$是假的。 $\ neg P$也被读为“不是” $P.$．

$v（\ neg b）= \左\ {\ begin {matrix} 1 &&& \ text {if} v（b）= 0 \\ 0 &&& \ text {否则。} \ _ \ square \ neg {marrix} \．$

这真值表（1 = true，0 = false）用于否定如下：

对于主张：

一种例如月亮是绿色奶酪做的。

是什么 $\否定$还

---

命题的否定一种，这个命题总是正确的，如果一种是假的，如果总是假的一种是真的。以下语句符合该标准:

$\底片$一种：月亮不是由绿色奶酪制成的。 $_ \广场$

${# D61F06} \颜色\ textbf{接合}$

逻辑连接是一个结合的二元逻辑连接，只有当它关联的两个命题都为真时，它才被评价为真。

$v(A)= 1 \\ 0 && \text{else} v(B)= 1 \\ 0 && \text{else}{矩阵}\ \端。$

共轭真值表如下:

(1 =真，0 =假)

考虑以下声明：

大象是绿色的，乔治穿着红色靴子。

这是什么类型的命题?

---

我们可以将主张信件分配给这些陈述：

E.字体大象是绿色的

G：乔治穿着红色靴子。

然后，上述声明被重写为：

E. $\楔$G

这个命题是一个合取命题。 $_ \广场$

${# D61F06} \颜色\ textbf{或}$

逻辑分离是一种结合的二元逻辑连接，如果它所关联的命题中的任何一个为真，它就被评价为真。笔记:这是析取的“包容”定义，不要与计算机逻辑中相当于“异或”门的“排他”形式混淆。

$v（a \ vee b）= \左\ {\ begin {matrix} 0 &&& \ text {if} v（b）= 0 \ text {and} v（a）= 0 \\ 1 &&& \ text {否则。} \ _ \ square \ end {matrix} \右。$

析取iis的真值表如下:

(1 =真，0 =假)

考虑以下声明：

大象是绿色的，或乔治穿着红色靴子（或两者）。

用命题逻辑重写这个。

---

我们可以将主张信件分配给这些陈述：

E.字体大象是绿色的

G：乔治穿着红色靴子。

然后，上述声明被重写为：

E. $\三角$G $_ \广场$

${# D61F06} \颜色\ textbf{条件}$

这逻辑条件相当于“如果A那么B”。如果结果与该陈述一致，则为真。唯一不一致的情况是当A为真时B为假。这与条件句相矛盾。所以定义如下:

$v（p \ to q）= \左\ {\ begin {matrix} 0 &&& \ text {if} v（p）= 1，v（q）= 0 \\ 1 &&& \ text {否则。} \ _ \Square \ END {MATRIX} \右。$

这是相应的真相表：

(1 =真，0 =假)

假设我们有下列陈述(复合命题):

如果丽贝卡完成了作业，她就可以看网飞了。

这是一个逻辑条件吗？

---

这包括两个简单的命题，我们称之为P.和问：：

• P.：Rebecca完成了她的作业。
• 问：:丽贝卡看Netflix。

然后，我们可以使用条件连接来设置以下条件语句：

P. $\,$问：

是的，这是一个逻辑条件。 $_ \广场$

${# D61F06} \颜色\ textbf{双条件的}$

双条件句是表示条件的连接词"当且仅当"．

它检查两个命题是否评估到相同的真相值。它也可以被认为是 $(A到B)楔(B到A)。$

$v(A)= v(B) \\ 0 &&& text{else . v(A)= v(B) \\ 0 &&& text{else . v(A)= v(B) \\ 0 &&& text{else . v(A)= v(B) \\ 0 &&& text{} \ _ \ square \ end {matrix} \右。$

这相当于XNOR逻辑门。

真相表看起来像这样：

(1 =真，0 =假)

这是什么类型的逻辑命题?：

如果下雨，我们就取消游行。

---

这相当于说。“如果下雨，我们将取消游行，如果我们取消游行，那么正在下雨。”注意:这并不意味着因果关系。也就是说，这并不意味着因为我们取消了游行，所以下雨了。事实上，这只是意味着如果不下雨，我们一定会举行游行。

我们建立了以下命题：

• P.：我们将取消游行。
• 问：:下雨。

然后我们写下我们的复合命题为：

$P \ leftrightarrow$

所以，这是一个奇迹。 $_ \广场$

$A: &\text{角度是正确的。} \\ B: &~a^2 + B ^2 = c^2。结束\{对齐}$

勾股定理状态 $一个\ B。$
反过来说 $B \。$

一起，我们就可以宣称 $一个\ leftrightarrow B。$

总之，这里有一个真值表，显示了所有连接词的功能:

到目前为止，我们已经讨论了以下简单主张：

• 一种
• $\底片$一种
• 一种 $\楔$B.
• 一种 $\三角$B.
• 一种 $\,$B.

然而，我们可以通过组合上述简单命题来构造更复杂的命题来构建良好的良好形成的公式的无限数量的组合，例如：

• $\底片$((一种 $\楔$B.的） $\三角$C]

如果用以下规则组成，则一个命题称为“良好的公式”（或WFF）：

1. 任何原子命题都是形成良好的公式。
2. 如果 $一种$那是一个良好的配方，那么 $\否定$也是一个良好的配方。
3. 如果 $一种$和 $B.$形成良好的公式，然后 $(\楔B)$也是一个良好的配方。
4. 如果 $一种$和 $B.$形成良好的公式，然后 $(\ v B型)$也是一个良好的配方。
5. 如果 $一种$和 $B.$形成良好的公式，然后 $(\ B)$也是一个良好的配方。
6. 如果 $一种$和 $B.$形成良好的公式，然后 $(\ leftrightarrow B)$也是一个良好的配方。 $_ \广场$
7. 除非仅使用上面的1-6，否则命题不是良好的配方。

${# D61F06} \颜色\ textbf{同义反复}$

一种Tautology在逻辑上是正确的。一个例子是“要么下雨，要么不下雨。”

形式上，我们说一个命题是Tautology如果它对所涉及的原子命题的所有可能的真值赋值都为真。 $_ \广场$

证明这个命题是aTautology：

$(A→B→C)) (A→B→C)$

---

我们可以构造一个真值表来验证:

$一种$	$B.$	$C$	$B \土地$	$(A→B→C)$	$B \ C$	$（a \ to（b \ to c））$
0.	0.	0.	0.	1	1	1
0.	0.	1	0.	1	1	1
0.	1	0.	0.	1	0.	1
0.	1	1	0.	1	1	1
1	0.	0.	0.	1	1	1
1	0.	1	0.	1	1	1
1	1	0.	1	0.	0.	0.
1	1	1	1	1	1	1

如您所见，第5列和第7列包含了A、B和c的所有组合的相同项。因此， $（（a \ land b）\ to c）\ leftrightarrow（a \ to（b \ to c））$的确是一个Tautology． $_ \广场$

${# D61F06} \颜色\ textbf{矛盾}$

矛盾是一个陈述的声明，就像逻辑问题一样。一个例子是“下雨了，又不下雨了。”

形式上，我们说一个命题是矛盾如果它对所涉及的原子命题的所有可能的真赋值为假。 $_ \广场$

重言式的否定无疑是一种否定矛盾．

因为，如上所述， $（（a \ land b）\ to c）\ leftrightarrow（a \ to（b \ to c））$是一个Tautology，下面是a矛盾：

$(A \到(B \到C)))$

${# D61F06} \颜色\ textbf{应急}$

一个命题或有当且仅当它既不是a矛盾也没有A.Tautology． $_ \广场$

偶然性的一个例子是

$（A \ LAND B）\ LEFTRICTRARROW（A \ VEE B）。$

我们可以通过构造真值表看到这一点:

我们可以看到，由于第三列和第四列既不都匹配，也不都相互矛盾，这是一个偶然性的例子。即命题是否有效或有在价值观上 $一种$和 $B.$．

两个命题 $一种$和 $B.$是相等的当且仅当 $一个\ leftrightarrow b$是一个同义反复。 $_ \广场$

当双条件检验两个命题对于一个特定的真值赋值是否相等时，等价性是对的检验所有可能的真值赋值。

以下是几个著名的逻辑身份列表:

$\ color {＃d61f06} \ textbf {有效性}$

到目前为止，我们还没有做任何事来区分一个好的论点和一个糟糕的论点。

一个论点有两种可能出错的方式:

1. 前提是假的。
2. 论证的逻辑结构是错误的。

由于在命题逻辑中，我们不能做任何事情来确定前提是真的是真的，我们在第二个想法方面定义了论证的有效性。

$左\{P_1, P_2， \cdots, P_n \right \}$据说需要 $C$当且仅当有无真相赋值 $P_1, P_2， \cdots, P_n$都是真的 $C$是假的。 $_ \广场$

我们表示以下内容:

$左\{P_1, P_2， \cdots, P_n \right \}模型C。$

下面是另一种定义蕴涵的方法:

$\左\ {p_1，p_2，\ cdots，p_n \ light \} \ model c$当且仅当 $(P_1 \楔P_2 \楔cdots \楔P_n \右)到C)$是一个同义反复。 $_ \广场$

到现在为止，读者应该很明显，一个论证是有效的如果，只有在前提范围内才有结论。

$\ color {＃d61f06} \ textbf {一致性}$

一组命题是不一致的如果它不能同时为真。否则,它是一致的．

一组命题 $\phi = left \{A_1, A_2， \cdots, A_n \right \}$是不一致的当且仅当 $\左(A_1 \楔A_2 \楔cdots \楔A_n\右)$是一个矛盾。

否则,它是一致的． $_ \广场$

不一致的集合是

$\phi = left \{A, A \to B， \neg B, C \right \}。$

注意这个命题 $C$和前后矛盾本身没有关系。然而，它毕竟是不一致集合的一部分。

命题逻辑只是众多形式语言中的一种。论证的结构可能在从英语转换到命题逻辑的过程中丢失了。

命题逻辑的自然延伸是量化逻辑，也称为谓词逻辑或一阶逻辑。

想想下面这个著名的论点:

1. 所有男人都是凡人。
2. 亚里士多德是人。
3. 因此，亚里士多德是会死的。

让我们试着用命题逻辑来表示:

$\ begin {aligned}答：＆\ text {所有男人都是凡人。} \\ b：＆\ text {aristotle是一个男人。} \\ c：＆\ text {aristotle是凡人。} \结束{aligned}$

论点变得

$\压裂{\;因此B} {\ C}。$

虽然显然是“逻辑”的通道，但这是一个完全无效的论据命题逻辑自一种那B.和C彼此没有关系。

注意，问题不在于论证的符号化。事实上，这是命题逻辑对这些命题所能提供的最好的符号化。由于这个原因,命题逻辑常被称为“零阶逻辑”，而量化逻辑被称为“一阶逻辑”，因为它根据语句的内容得出逻辑结论，如上例所示。

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