谓词逻辑

谓词逻辑那一阶逻辑或量化逻辑命题是一种用谓词、变量和量词来表达命题的形式语言。它不同于命题逻辑缺乏量词。

它应该被视为延伸命题逻辑，其中真值的概念、逻辑连接词等仍然适用，但命题字母(过去是原子元素)将被一个包含谓词和量词的新命题概念所取代。

谓词逻辑优于命题逻辑，因为它能够在形式意义上捕获几个论点的结构，而命题逻辑不能。

我们将用一个例子说明这一点。

想想下面这个著名的论点:

1. 所有男人都是凡人。
2. 亚里士多德是人。
3. 因此，亚里士多德是会死的。

让我们试着用命题逻辑来表示:

$\ begin {aligned}答：＆\ text {所有男人都是凡人。} \\ b：＆\ text {aristotle是一个男人。} \\ c：＆\ text {aristotle是凡人。} \结束{aligned}$

论点变得

$\压裂{\;因此B} {\ C}。$

这在命题逻辑中是一个完全无效的论点，因为a, B和C彼此没有关系。

请注意，问题不是符号化参数。事实上，这是最好的象征命题逻辑可以提供这些陈述。

我们还没有展示谓词逻辑如何成功地证明论证的有效性;在后面的章节中，读者会更清楚地了解这一点。

谓词是数理逻辑中的一个基本概念。谓词表达与它的论点有关的类似的命题。

最简单的谓词是表示事物属性的谓词。

$Ax \text{:} x \text{is tall}$

或者它可以有两个地方

$Bxy \text{:}x \text{欠}y钱$

或者几个地方

$Cxyz \text{:}x \text{借来}y \text{from} z$

与一个参数，两个参数或一般的谓词 $N.$参数被称为单片那二元或n-adic.分别。你可能意识到谓词是一般化的关系

按照上面的约定，通常习惯用大写字母表示谓词，用大写字母表示变量参数 $X y z， \cdots$和常量 $A，B，C，\ Cdots$。变量和常数的概念将在后面的讨论中更加清晰。

关于使用命题，我要做的一个重要评论是，命题的论点是注定的单一的方面，即与类或其代表相对的特定对象。

下面的语句在谓词逻辑中不是形成命题的有效方法

象征键

• $Ax: x \text{bark(s)}$
• $d: \文本{狗}$

$$

$广告$

那是因为 $D.$指的是“狗”，这不仅仅是一个特定的对象，而是整套狗。表达这些命题的正确方法是通过量词我们将在下面进行探讨。

话语宇宙(见下文)中满足谓词的一组对象被称为扩展的谓词。扩展为空集的谓词称为空的谓词。

谓词逻辑中另一个最重要的概念是量词，这就是为什么我们也叫它量化逻辑。量词为我们提供了表达涉及整套对象的主张的权力，其中一些，枚举它们等。

在我们更详细地讨论量词之前，我们必须先介绍这个概念论域。话语（UD）的宇宙是我们计划在做出正式命题时谈论的一系列事情。通常，话语的宇宙是显而易见的，但是当我们需要时，我们将在符号化密钥中明确。

通用量化 $(\原则)$

全称量词，让我们用一个谓词所有话语世界的成员。本质上，我们可以这样说每个人都是快乐的,或所有的数都能被1整除。

它用符号表示 $\对所有人$， 读对所有

象征键

• 丑小鸭:所有人
• $HX.$： $X$很高兴

我们可以说 $\ forall x h x$意味着每个人都是幸福的

---

象征键

• 丑小鸭: $\ mathbb {N}$
• $Dxy$： $x \中期$

我们可以说 $给所有n D1n \$意思是所有自然数都能被1整除。

聪明的读者可能会注意到，通常的惯例是说 $\ forall n \ in \ mathbb {n}，1 \ mid n$。虽然这也在结构上等同于谓词逻辑，但我们将坚持自己为这款维基而不是速记的形式主义。

的存在量词 $（存在）$

存在量词保证量化的谓词适用于最后一个UD的成员。我们可以用它来说像这样这个房间里有人会跳舞,或总有一天，阿格尼松会死去

它用符号表示 $\存在$，通常被阅读那里存在

象征键

• UD：这个房间里的人
• $DX.$： $X$可以跳舞

我们可以说 $存在x D x$意思是有一个人(至少一个人)会跳舞。

---

象征键

• UD:整天
• $DX.$： $X$是阿格尼松死的日子吗

我们可以说 $存在x D x$意味着阿格尼松总有一天会死。

量词可以组合在一起构成命题。

一个常见的例子是对于所有人来说，存在条款。

让UD去吧 $R \ mathbb {}$然后让 $LXY.$的意思是 $X$小于 $y$

我们说, $因为所有的x都存在y L x y$，意思是每一个实数都有一个实数比它本身小。

很容易让人想到 $\对所有人$和 $\存在$可以始终在这样的构造中切换，但这并不一定如此。

让 $LXY.$的意思是 $X$喜欢 $y$

$\存在x \ forall y lyx$意思是有一个人人都喜欢的人。

然而, $因为所有的x都存在着y$意味着对每个人来说，都有人喜欢他们。

量词的另一种常见组合是将存在量词或全称量词排列在一起，比如 $存在x \存在y \存在z \ cdots$和 $\为所有x \为所有y \为所有z \cdots$分别是对于所有x，y，z ..或存在x, y, z,…。这通常被写为速记 $\存在x，y，z$或 $\原则,x, y, z$

让 $DX.$的意思是 $X$是一只狗。让 $含氧的$意思是 $X$拥有 $y$

然后 $存在x \存在y（dx \ wedge oyx）$意思是某人拥有一只狗

这范围量词是量化器适用的句子的一部分。如有必要，我们使用actheses修改范围，我们将通过一个例子使这更清晰。

考虑以下符号化：

• 丑小鸭:人们
• $GX.$： $X$会弹吉他
• $L.$：lemmy

在表达式中 $\存在x g x \ to gl$，量词的范围 $\存在$是表达式 $GX.$。这意味着它如果有吉他手，莱米就是吉他手。

然而，如果我们说 $\存在x (G x \到Gl)$，我们已将Quanitifier的范围更改为整个表达式。句子现在意味着，有一个人 $X$这样的话 $X$是吉他手，莱米也是吉他手。

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你可能会注意到这个句子是正确的，因为存在非吉他手。例如,我们 $P.$Agnishom。 $gp \ to gl$为真，因为先行词为假的条件句总是为真。(阿格尼松不会弹吉他)。因为某人,即 $P.$，满足句子， $\存在x (G x \到Gl)$是真的。

不受任何量词作用域约束的变量称为自由变量。表达式只能是一个命题，如果它的变量中没有一个是自由的，我们将在下一节看到。

在本节中，我们将通过通过组织层次结构来开发一个严格的递归定义命题或谓词逻辑中的句子。

• 谓词，常量，变量，逻辑连接，括号和量子称为符号。
• 一个表达式是一串符号。
• 一种学期是常数或变量。
• 一个n-adic谓词其次是 $N.$条款被称为一个原子公式。
• 原子公式是形成良好的公式(wff)当且仅当它满足以下定义:

1. 每个原子的分子式都是形成良好的分子式。
2. 如果 $\ mathscr{一}$那是一个良好的配方，那么 $\ neg \ mathscr {a}$也是一个良好的配方。
3. 如果 $\ mathscr{一}$和 $\ mathscr {B}$形成良好的公式，然后 $(\ mathscr{一}\楔\ mathscr {B})$也是一个良好的配方。
4. 如果 $\ mathscr{一}$和 $\ mathscr {B}$形成良好的公式，然后 $（\ mathscr {a} \ vee \ mathscr {b}）$也是一个良好的配方。
5. 如果 $\ mathscr{一}$和 $\ mathscr {B}$形成良好的公式，然后 $(\ mathscr{一}\ \ mathscr {B})$也是一个良好的配方。
6. 如果 $\ mathscr{一}$和 $\ mathscr {B}$形成良好的公式，然后 $(\ mathscr{一}\ leftrightarrow \ mathscr {B})$也是一个良好的配方。
7. 如果 $\ mathscr{一}$是一个良好的配方，和 $\ mathscr {x}$是一个变量, $\ mathscr{一}$包含至少一次的 $\ mathscr {x}$, $\ mathscr{一}$不包含 $\ mathscr {x}$量词,然后 $\ forall \ mathscr {x} \ mathscr {a}$也是一个良好的配方。
8. 如果 $\ mathscr{一}$是一个良好的配方，和 $\ mathscr {x}$是一个变量, $\ mathscr{一}$包含至少一次的 $\ mathscr {x}$, $\ mathscr{一}$不包含 $\ mathscr {x}$量词,然后 $\ \ mathscr存在{x} \ mathscr{一}$也是一个良好的配方。

• 最后，我们准备如下定义一个命题:

一个形成良好的公式是命题如果它没有免费变量

• 只是要更加严谨，我们正式定义范围同样:量词的作用域是量词作为主要逻辑运算符的子公式。

我们可以通过讨论同一性来扩展谓词逻辑，这是我们都很熟悉的。的身份 $=$实际上是一个两个地方谓词，告诉我们给定的术语总是可以被另一个替换。因为身份是一个等价关系，它是对称的，传递的和自反的，

它使我们能够表达一些我们要不然无法表达的主张

表达莉斯是最高的间谍在谓词逻辑中使用合适的制剂

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让UD是所有人。让 $Sx$意思是 $X$是一个间谍 $Txy$意思是 $X$比高于 $y$。让恒 $L.$莉斯。

$forall x ((Sx \wedge \neg (x = l)) \to Tlx)$

这其实是说，有人是间谍，但不是莉斯，莉斯一定比她高。我们需要使用身份谓词，因为莉兹并不比她自己高。

使用适当的符号化将以下内容转换为谓词逻辑:

1. 每个逻辑学家都爱别人而不是自己。
2. 唯一尊重理查德的人是苏。

如果你尝试过上一个练习，你可能可以自己做。

让 $Px$有一些谓词。我们会看到如何用谓词逻辑来表达包含自然数的量，也就是表示有至少n,最多n,或完全N个满足谓词的东西。

	一个	两个
至少	$\存在x p x$	$Px \楔Py \楔neg (x = y)$
完全	$存在x（px \ wedge \ forall y（py \ to（y = x）））$	$存在x \存在y（\ neg（x = y）\ wedge px \ wedge py \ wedge \ forall z（pz \ to（z = x）\ vee（z = y）））））$
最多	$\forall x \forall y ((Px \wedge Py) \to (x = y))$	$forall x \forall y \forall z((Px \楔Py \楔Pz) \to ((x = y) \vee (x = z)))$

读者可以尝试探索为什么这些命题在英语中具有声明的翻译，并尝试三个或更多的相同。

在谓词逻辑中不适合表示常量的描述是无限描述。例如，在句子中有些狗很烦人那一些狗是一种不确定的描述。

其他的描述是明确的。如果有什么东西符合这个术语的描述，那么这个合适的对象就叫做参考这个词。但是，可以使用不提及任何内容的术语构建句子，在这种情况下，术语本身称为anon-referring术语。

考虑一下这句话法国之王是秃头。

我们可以象征如下：

• $BX.$: x是秃头
• $K.$法国国王

$BK.$

问题与之 $K.$因为法国没有国王，所以这是不指代的吗

当我们尝试评估句子的真实值时出现问题。如果我们考虑延伸的是秃头谓词,法国国王不在他们之中，因为根本就没有这样的人。考虑到这一说法的否定，法国之王不是秃头，似乎也不正确，因为法国国王是不是在延伸不是秃头或者，使用相同的逻辑。这似乎是违反的排除中间法则。

一个建议的解决方案是用三值逻辑来解释句子，其中非指涉术语产生第三种逻辑价值。

当酒吧侍者罗素的理论描述用下面的方法将命题的否定形式化:

让 $Kx$的意思是 $X$是法国的国王。

然后，原始陈述是以下三个陈述的结合：

1. $\存在x k x$有一个法国国王
2. $forall x \forall y ((Kx \楔Ky) \to (x = y))$法国最多只有一个国王
3. $\forall x (Kx \to Bx)$法国国王都是秃头

从本质上讲, $x (Kx) = Bx (y) =y (Ky))$

声明的否定可能意味着， $\ neg \存在x（kx \ wedge bx \ wedge \ forall y（ky \ to（x = y）））$，在这种情况下，否定是正确的，因为真的没有这样一个国王。

或者，它的意思是 $\存在x（kx \ wedge \ neg bx \ wedge \ forall y（ky \ to（x = y）））））$，在这种情况下，根据同样的推理，否定是假的。

本节不完整。您可以通过填写它并添加更多示例来帮助。

从一组前提中证明一个结论，是用一定的推理规则对命题进行转换。这种对论证形式的抽象是形式逻辑的中心主题之一。

除了用于命题逻辑的证明规则外，我们还添加以下规则：

• 普遍的消除 $所有E的\$：如果 $\ mathscr{一}$是一个包含 $\ mathscr {x}$那 $\ forall x \ mathscr {a}$可以被 $\ mathscr {a} \ boxed {\ mathscr {x} \ iclies \ mathscr {c}}$，即…的所有实例 $\ mathscr {x}$替换为 $c \ mathscr {}$
• 存在主义的介绍 $\存在我$：如果 $\ mathscr{一}$是一个包含 $c \ mathscr {}$那 $\ mathscr{一}$可以被 $exist \mathscr{x} \mathscr{A} \boxed{\boxed{\mathscr{c} \implies \mathscr{x}}$，即…的一个或多个实例 $c \ mathscr {}$替换为 $\ mathscr {x}$
• 存在消除 $存在\ E$：
• 普遍的介绍 $所有我的\$：
• 量词否定 $QN$：如果 $\ mathscr{一}$是一个包含 $\ mathscr {x}$那 $给所有\ \ mathscr {xA}$可以被 $mathscr{x} \neg \mathscr{A}$和， $\存在\ mathscr {xa}$可以被 $\neg \forall \mathscr{x} \neg \mathscr{A}$
• 身份介绍 $=我$：我们总是可以添加前提 $\ mathscr {c} = \ mathscr {c}$
• 身份消除 $= E$：