运用代数的命题逻辑

因为这维基命题逻辑解释说，命题被视为原子单位。这样的命题可以用这样的字母表示 $P, Q, R,……$，其值为真正的或假．可以使用这三种主要的逻辑操作来构建表达式和，或和不，通常用符号表示 $\楔$， $\三角$, $\ sim$(或 $\底片$）.这些表达式可以由符号表示的条件句和双条件句联系起来，甚至包括它们 $\ rightarrow$和 $\ leftrightarrow$．例如，我们有这个表达式

$左(P\楔Q \右)右(P$

这是一个逻辑标识，“分解一个连接”，意思是如果 $左(P\楔Q \右)$是真的,那么 $P$是真的。我们可以有更复杂的东西，
如

$\左(P\右tarrow Q\右)\左(P\右tarrow Q\右)\楔\左(Q\右tarrow P\右)\右)$

这实际上就是"双条件的定义" $\ leftrightarrow$的象征。命题逻辑更详细地解释，并且，在实践中，人们期望利用这些逻辑恒等式来证明任何表达式是真还是假。对于不熟悉的人来说，这可能是一个麻烦的练习。

这看起来很像代数，那么有没有办法用代数来解决这些问题呢?是的，可以这么说。首先，所有命题和表达都必然具有两者中的任何一种价值真正的或假．我们可以使用数值 $1$和 $0$表示同样的事情(尽管可能有其他方案)，对于这个wiki，小写字母 $p, q, r……$表示具有数值的命题和表达式。我们马上就能看到和和不仅仅是

$P \楔\ Longleftrightarrow pq$
$\ sim P \ Longleftrightarrow 1 - P$

的象征 $\ Longleftrightarrow$意思是相似的或相似的操作。现在,但是或操作有点麻烦

$\左(P\vee Q \right) \左右$

我们用条件条件和双条件来完善它

$\左(P\右Q \右)\左(sim P\vee Q \右)$
$\左(\sim P\vee Q \右)\左右转1-p+pq$

$\左(P\左\右)\左(sim P\vee Q \右)\楔\左(P\vee \sim Q \右)$
$左(只\sim P\vee Q \right)左(只\vee \sim Q \right)左(只\vee \sim Q \right)左$

现在，让我们试着把它应用到实践中去，比如说，推理推理法。是真的吗?

$\左(左(P\右)Q \右)\楔P\右)右Q$

利用上面给出的代数等价，我们可以计算出相应的代数表达式

$(1-p+{P}^{2}+pq-2{P}^{2} Q +{P}^{2}{Q}^{2}$

现在，我们要背离通常的代数惯例。每一个命题和表达式都有两者的价值真正的或假,要么 $1$或 $0$．这意味着代数表达式中的所有指数都可以被简化为 $1$，我们就剩下

$1-p+{p}+pq-2{p}q+{p}{q}=1$

这意味着它永远是正确的，因此是一个逻辑同一性。

而这个“技巧”可以是一种方便的方法来双重检查逻辑标识或解决逻辑门的复杂组合(见逻辑门)，这种方法有助于理解即使是“如果……”因此...."语句可以用逻辑门和双条件语句来表示。这将所有这些东西放在一个平等的基础上，所以条件句和双条件句从根本上来说与逻辑操作没有任何不同。

例子问题1

dm的法律里

$\sim \left(P\vee Q \right) \leftright (sim P\wedge \sim Q)$

求二元条件两边逻辑表达式的等价代数表达式。

答: $1-p-q + pq \四$

注意，如果我们这样说的话，当计算出来时，代数形式产生的真值表与双条件表达式两边的逻辑表达式相同 $真正\ Longleftrightarrow 1$和 $假\ Longleftrightarrow 0$．

还需要注意的是，如果问题要求整个逻辑表达式的等价代数表达式，包括双条件表达式，结果将是简单的 $1$，因为这是一个众所周知的逻辑标识。

有用的提示:给定一个任意的真值表，比如说，两个变量 $P$和 $问$，可以通过执行 $或$的所有实例的操作 $真正的$，每一个都是 $和$表达式基于其位置，每个位置都是 $sim P \楔\sim Q$， $\sim P \楔Q$， $P \楔\sim Q$， $P \楔$．例如，对于双条件的，由真值表定义的，if $P$和 $问$都是 $真正的$或 $假$,它返回 $真正的$，否则返回 $假$，来生成逻辑表达式，我们简单地写出来

$\左(\sim P\楔\sim Q \右)\v \左(P\楔Q \右)$

这个表达式可能看起来和上面用的表达式不同，但实际上两者在逻辑上是等价的，并且有相同的最简单的代数表达式，也就是 $1-p-q + 2 pq$．

这种寻找任意真值表逻辑表达式的方法可以推广到任意数量的变量。

这里是常用逻辑门的代数等价物

$不是\ Longleftrightarrow 1 - p$
$和\ Longleftrightarrow pq$
$或者\ Longleftrightarrow p + q-pq$
$NAND \ Longleftrightarrow 1-pq$
$也不\ Longleftrightarrow 1-p-q + pq$
$XOR \ Longleftrightarrow p + q-2pq$
$XNOR \ Longleftrightarrow 1-p-q + 2 pq$

所以可以说双条件句在逻辑上和 $XNOR$．同时，一个条件不对应任何经典逻辑门，因为它是不对称的对两个输入，有代数等价 $1 - p + pq$．