完全平方,立方和幂
完全平方数
列一个清单 最小数的平方数。
我们有
因此,答案是
求两个相邻完全平方数的差值,其中最小的有9个。例如,从
我们有
因此,答案是
下列哪个是不完全平方?
自 而且 没有一个 而且 这就是答案。现在, 它不是一个完美的正方形,而是一个完美的立方体。所以,答案是
下式中, 而且 都是不同的正整数(这是毕达哥拉斯定理):
的最小值是多少
观察到
那么答案是
正数是多少 下式中:
观察到
那么答案是
两者之间的平方数是多少 而且
观察到
那么答案是 而且
关于完全平方数的一些性质如下(证明略):
- 完全平方数不能请使用个位数2、3或7。(你可以自己去看看。)
- 偶数的平方是偶数,奇数的平方是奇数。
- 所有奇方都是这种形式 ,因此都是奇数的形式 ,在那里 是正整数,不是完全平方。例如,361可以写成 我们知道 然而,843并不是完全平方数,因为 而且 它可以表示为
- 都是偶数形式 ,在那里 是正整数,不是完全平方数吗
- 所有的偶数平方都能被4整除。(你可以取任意偶数的正方形,检查一下。)
- 两个奇平方之差是8的倍数。例如, 这是
- 第一个的和 实际上是奇数 例如, 这里有6个奇数,所以我们可以找到它们的和 同样的, 作为 在这里。
- 第一个的和 完全平方数 是由
- 如果 分 然后 分 (欧几里得定理)。由此,如果一个数的质因数分解包含所有的质数的偶次幂,我们就可以说它是完全平方数。
- 给定两个正整数 而且 如果 是整数的平方吗 然后 分
平方数的结尾数字(我们考虑十进制):
- 如果一个数的单位数字是1或9,那么它的平方的单位数字就是1。
- 如果一个数的单位数字是2或8,那么它的平方的单位数字就是4。
- 如果一个数的单位数字是3或7,那么它的平方的单位数字就是9。
- 如果一个数的单位数字是4或6,那么它的平方的单位数字就是6。
- 如果一个数的单位是5,那么它的平方也会是5。
- 如果一个数的个位数是0,那么它的平方也会是0。
这一点的证明留给读者。
完美的数据集
当你求某物的立方时,就是把它自身乘以三次。例如, .对一个正数求立方会得到一个正数,而对一个负数求立方会得到一个负数。
从最小的开始,列出10个完美的非负立方体。
我们有
因此答案是
下面给出了完美立方体的一些简单性质。这里省略了它们的证明。
- 每个完美立方的根数都是1 8 9。这里的“数字根”指的是所有数字的和,直到我们得到一个数字。例如,1234的数字根可以通过以下方式获得 因为我们得到的是两位数,我们再把两位数相加得到 也就是1234的数字根。数字54有数字词根 请注意,如果一个数字有数字根1、8或9,这并不一定意味着它是一个完美的立方(就像54的情况一样,它有数字根9,但不是一个完美的立方)。这可以用模运算来证明。
- 完美立方可以用0到9之间的任何数字作为个位数。
- 第一个的和 完美的数据集 是 这个等于第一个的和的平方 自然的数字。
- 每一个正有理数都可以表示为三个有理数立方的和。
- 任何完美立方都可以表示为四个奇数的和。例如,
完全立方的个位数:
- 如果一个数字以0结尾,那么它的立方体以0结尾。
- 如果一个数以2结尾,那么它的立方体以8结尾。
- 如果一个数以3结尾,那么它的立方体以7结尾。
- 如果一个数以4结尾,那么它的立方体也以4结尾。
- 如果一个数以5结尾,那么它的立方体也以5结尾。
- 如果一个数以6结尾,那么它的立方体也以6结尾。
- 如果一个数以7结尾,那么它的立方体以3结尾。
- 如果一个数以8结尾,那么它的立方体以2结尾。
- 如果一个数以9结尾,那么它的立方体也以9结尾。
这一点的证明留给读者。
下面7个数字中只有6个是完全立方。哪一个是不?
通过应用 属性时,40323的数字根为 因此,40323不是一个完美的立方体。
完美的权力
完全幂是正方形和立方体的一般形式。具体来说,它是任何可以写成非负数的乘积的数整数与自身相乘至少两次。换句话说,它是这种形式 对于某些整数 而且
完全幂的集合是联盟完全平方,完全立方,完全四次方,等等。小于等于的完全幂 是
下面给出了一些简单的结果。证明省略了。
- 的 以5为单位的数的幂还是以5为单位。
- 的 以1为单位的数的幂还是以1为单位。
- 的 个位数为0的数的幂的个位数为0。
- 的 单位为6的数的幂的单位为6。
- 被提升到5的数的个位数就是原数的个位数。事实上, 在哪里 而且 是正数(这来自欧拉的一个著名定理)。
- 0的 幂为0,其中 不等于0。0的0次方是没有定义的。
- 1到 幂是1。
- 10的次方中数字的个数 是 哪里会有 0。
- 每一个 正整数的幂是完全平方。
以下哪个是最伟大的?
我们有
因此 是这些数字中最大的。请注意,对于给定的一组数字,有更好的方法来确定哪个是最大的或最小的;上述幂都可以很容易地计算出来。
求其中的位数 ,鉴于 而且
因为我们已知 而且 ,我们可以很容易地看到,60到70之间的任何正整数的位数实际上是13。方法如下:如果 大于 然后 提高到 大于 提高到 在哪里 而且 都是实数 为正整数。知道了这个,我们就能求出
因为两个 而且 和的位数相等 小于 但 小于 , 也必须有相等数量的数字。因此 有13位数字。