立方根

的立方根的数量 $一个$是这个问题的答案，“什么数字，当立方? $（$上升到3 $^ \文本{rd}$权力 $）$,结果在 $一个吗?$立方根的符号是 $\ sqrt [3] {\}$”。这个数的立方根 $一个$被编写为 $\ sqrt[3]{一}$．

它的立方根是什么 $64$?

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问你自己一个问题，“什么数字，当立方，得到 $64$这个问题的答案就是的立方根 $64$．

$4 ^ 3 = 64$,所以 $\ sqrt [3] {64} = 4$． $_ \广场$

常用立方根来求解三次方程．特别地，它可以用来求解一定体积的三维物体的尺寸。

的立方根的数量 $一个$,表示 $\ sqrt[3]{一},$是数量 $b$这样

$b ^ 3 =。$

立方根符号的作用与平方根符号．它通常被称为激进的，符号顶部线下的数字或表达式称为被开方数．立方根是a分组符号这意味着，所有在激进的行动被分组，就像他们在括号．

与平方根不同，立方根的结果可以是任何实数:正数、负数或零。同样与平方根不同的是根号的定义域限制:立方根的根号可以是负的，而立方根仍然可以得到实的结果。

要求任何整数的立方根，首先问自己一个问题:“什么整数，当立方时，得到这个数?”如果想不起来，就列出来完美的数据集直到找到匹配的自由基。

的价值是什么 $\ sqrt [3] {216}$?

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回答

想想完美的立方体，直到你找到一个与原子基匹配的立方体。

$6 ^ 3 = 216$,所以 $\ sqrt [3] {216} = 6$． $_ \广场$

计算分数的立方根的过程与此类似。寻找匹配分数分子和分母的完美立方体。

的价值是什么 $\ sqrt [3] {\ dfrac{27}{125}}。$

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回答

$3 ^ 3 = 27$, $5 ^ 3 = 125$．

由此可见, $\ sqrt [3] {\ dfrac {27} {125}} = \ dfrac{3}{5}。$ $_ \广场$

与平方根不同，立方根在实数下没有域限制。根号可以是任何实数，立方根的结果将是实数。

的价值是什么 $\ sqrt [3] {8}$?

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回答

类似于前面的例子，的立方根 $8$是这个问题的答案，“什么数字，当立方，得到? $8$?”

$(2) ^ 3 = 8$，所以是这样 $\ sqrt[3]{8} = 2。\ _ \广场$

一般来说，如果对负数进行立方根运算，则结果为负。

让 $一个$做一个实数。然后,

$\ sqrt [3] {a} = - \ sqrt[3]{}。$

简化非完美立方体的立方根的过程就像简化平方根的过程．

让 $一个$是一个非完全立方整数。

的简化的激进的形式的立方根 $一个$是

$c b \ sqrt[3]{}。$

在这种形式, $\ sqrt[3]{一}= b \ sqrt [3] {c}$， $b$而且 $c$是整数, $c$是正的，没有完全立方因子 $1$．

要简化立方根，首先要找出根号的最大完美立方因子。然后，应用以下属性:

让 $一个$而且 $b$是实数。然后,

$\ sqrt [3] {ab} = \ sqrt[3]{一}\ * \ sqrt [3] {b}。$

简化 $\ sqrt[3]{81}。$

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回答

目标是找到的最大的完美立方因子 $81$．自 $27$我们有这个因子吗

${对齐}\ \开始sqrt [3] {81} & = \ sqrt [3] {27 \ * 3} \ \ & = \ sqrt [3] {27} \ * \ sqrt [3] {3} \ \ & = 3 \ sqrt[3]{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

请注意:当一个数字放在立方根符号的左边时，表示乘法。因此,“ $3 \ sqrt [3] {3}$“读作” $3.$乘以的立方根 $3.$．"

复数的立方根有些模棱两可。非实数复数既不是正的也不是负的，因此没有明确定义哪个立方根是主根。因此，当对复数进行立方根运算时，其结果被解释为所有方程的解:

让 $z$是复数。最多有三个值 $z \ sqrt [3] {}$它们等于方程的解

$x ^ 3 = z。$

注意，在对复数使用立方根运算时，其定义并不明确，因为可能有多个结果。

求复数立方根的过程与求 $3 ^ \文本{rd}$统一的根源．

的价值是什么 $\ sqrt[3]{我}$?

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回答

首先，必须把复数写进去极坐标形式．为 $我$， $r = | | = 1$而且 ${arccot} \ \θ= \文本左(\压裂{0}{1}\右)= \压裂{\π}{2}+ 2 k \π$,在那里 $k$是一个整数。

$c \开始{数组}{}我& = & e ^{我\π/ 2}& = & e ^ {i5 \π/ 2}& = & e ^{19 \π/ 2}\ \ \ sqrt[3]{我}我& = & ^ {1/3}\ \ \ \ \ sqrt[3]{我}& = & \离开(e ^{我\π/ 2}\右)^ {1/3}& = & e ^{\π/ 6}& = & \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{我}{2}\ \ \ sqrt[3]{我}& = & \离开(e ^ {i5 \π/ 2}\右)^ {1/3}& = & e ^ {i5 \π/ 6 } & = & -\ 压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{我}{2}\ \ \ sqrt[3]{我}& = & \离开(e ^{19 \π/ 2}\右)^ {1/3}& = & e ^ {i3 \π/ 2}& = & -我。结束\{数组}$

有三种可能的结果 $\ sqrt[3]{我}$： $\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} + \ dfrac{我}{2}$， $- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} + \ dfrac{我}{2}$, $-我$． $_ \广场$