根
的平方根的数量 是问题的答案, 什么非负数,当平方的时候 取2 权力一个> 结果 平方根的符号是 .这个数的平方根 被编写为
根号下是多少
问你自己一个问题, 什么非负数,当平方,得到的结果
这个问题的答案是平方根 .
,所以 .
平方根是求解的关键<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-equations/" class="wiki_link" title="二次方程"target="_blank">二次方程一个>和解决<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distance-formula/" class="wiki_link" title="距离的问题"target="_blank">距离的问题一个>在几何。
内容
定义和符号
的平方根的数量 ,表示 ,是数字 这样
平方根符号" 有时也被称为激进的.或数量<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/simplifying-expressions/" class="wiki_link" title="表达式"target="_blank">表达式一个>平方根符号的上一行下面叫做被开方数。例如,在表达式中 ,根号为 .
平方根符号作为a分组符号,这意味着在根号中的所有数字和运算都被分组,就好像它们在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-operations/" class="wiki_link" title="括号"target="_blank">括号一个>.
是 一个真正的声明吗?
在计算 ,注意只有 处于极端状态。因此, .在计算 ,注意和 而且 处于极端状态。因此, .
这些值是不相等的,所以 ”是一个假声明。
另外,请注意平方根运算的结果是总是正的或零.这一事实经常被忽视,并导致<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/plus-or-minus-square-roots/" class="wiki_link" title="对平方根的常见误解"target="_blank">对平方根的常见误解一个>.
完全平方的平方根
正数的平方根<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/perfect-squares/" class="wiki_link" title="完全平方"target="_blank">完全平方一个>总是一个正整数。这些平方根可以通过考虑完全平方来找到,直到找到与根号匹配的。
下面列出了前十个完美平方的列表,以供参考:
找到…的价值 .
目标是想出一个非负数,当平方时,得到 .自 ,可以得出
分数的平方根也可以用同样的方法求出来,只要分子和分母都是完全平方。
找到…的价值 .
目标是想出一个非负数,当平方时,得到 .自 而且 ,可以得出 .
估计非完全平方的平方根
平方根运算不仅仅定义为完全平方。平方根运算还可以应用于任何非负实数(这个域稍后将被扩展到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/square-roots/" class="wiki_link" title="负的实数"target="_blank">负的实数一个>而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/square-roots/" class="wiki_link" title="复数"target="_blank">复数一个>).
当对一个不是完全平方的正整数执行平方根运算时,结果是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数"target="_blank">无理数一个>.计算器经常被用来寻找这种结果的十进制近似值。然而,不需要计算器也可以找到一个像样的近似值。首先,我们将探讨如何找到平方根的整数边界。
哪个连续整数是 之间?
首先,请注意, 不是完全平方。这意味着 是无理数。什么是完全平方 之间?看一下完全平方数的列表, 之间的是 而且 .
因为 ,显而易见的是 .
因此, .
当用计算器检查时,可以确认这个近似: .<!--end-hidden -->
这个过程可以应用于给出任意平方根的整数近似。为了得到更好的近似,必须考虑<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/inflection-points/" class="wiki_link" title="凹度"target="_blank">凹度一个>的平方根<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/functions/" class="wiki_link" title="函数"target="_blank">函数一个>.
为了更好地逼近平方根,考虑一下这个数更接近哪一个完全平方。
近似 到小数点后一位。
请注意, 不是完全平方。通过考虑完全平方来求整数边界 之间。之间的是 而且 .因此, .
现在考虑一下哪一个完全平方6更接近: 或 . 几乎介于两者之间 而且 ,但它更接近 .
自 大概介于两者之间 而且 ,显而易见的是 大概介于两者之间 而且 . 是个不错的开始。
你可以用平方来检验你的猜测 .结果应该接近 .乘以手, .这看起来很接近,但它是小数点后一位的最佳近似值吗?
似乎是一个很高的猜测(因为 ,所以另一个有效的猜测是 .再一次,将这个数平方,并将结果与 .乘以手, .注意,这是一个较低的猜测,所以没有更好的一个小数点近似值 比 而且 .
哪种近似更好?请注意, 小于 通过 , 大于 通过 .更接近的平方结果来自 近似。因此, 最好的小数点近似值是多少 .
这个近似可以用计算器来证实: .
下图是平方根函数的图形, :
以整数坐标表示的点。这些点代表 -完全平方的值。注意,当函数向正方向移动时,点之间的距离会越来越远 方向。
仔细一看,就会更清楚发生了什么:
在上图中,红色虚线段连接了完美的平方点。注意,平方根函数总是更高的比这些直线段。这意味着平方根的值会比任何线性近似都要高。
近似 到小数点后一位。
是完全在完全平方的中间 而且 .利用线性思维,可以推断出最佳近似 将完全中间 而且 .想成为 .乘以手, .我猜得很低,是的 的值 .
回想一下,实际的平方根往往大于线性近似。现在来猜一下 .
乘以手, .这个猜测太高了,的确如此只有了 .
因此,最佳的一小数点近似值 是 .最好的近似是不中间 而且 .
这个近似可以用计算器来证实: .
解形式方程
的解通常用平方根<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-equations/" class="wiki_link" title="二次方程"target="_blank">二次方程一个>.可以用平方根解出的最简单的二次方程是这样的方程 .
找到解决方案
平方根可以用来求这个方程的解。这个解决方案是 .然而,还有另一种解决方案。另一个解是 .
这种形式的方程 ,在那里 ,总是有两个解:一个正的,一个负的。
让 是一个积极的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数"target="_blank">实数一个>.方程的解 是
或者说,
对于这类方程,正解称为原则的平方根,而负的解称为负的平方根.
有些问题会问,什么是平方根一定数量的, 通常情况下,我们会考虑 只有一个可能的结果。然而,在这种情况下,问题的意义在于发现这两个方程的解 .
简化根
不是完全平方的正整数的平方根总是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数"target="_blank">无理数一个>.的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/decimals/" class="wiki_link" title="十进制表示"target="_blank">十进制表示一个>损失了这么多的人<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/significant-figures-and-precision/" class="wiki_link" title="精度"target="_blank">精度一个>当它四舍五入时,是很耗时的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/square-roots/" class="wiki_link" title="不用计算器计算"target="_blank">不用计算器计算一个>.而不是使用十进制表示,写这样一个数字的标准方法是使用简化的激进的形式一个>:
让 是正的非完全平方整数。
的简化的激进的形式的平方根 是
这种形式 ,两个 而且 是正整数,和 不包含完全平方因子,除了 .<!--end-definition -->
将平方根化为简化根式的过程包括找到完全平方因子,然后应用以下恒等式:
让 而且 是正的实数。然后,
简化 .
首先,问你自己,“什么是的完全平方因子? ?”是的完全平方因子 , 是的完全平方因子 .
为了这个过程的方便,找到最大的完全平方因子 .如下所示, 是最大的完全平方因子 :
因此,简化形式 是
请注意:当一个数放在平方根符号的左边时,表示乘法。 “读作” 乘以的平方根 ."<!--end-hidden -->
合理化分母
合理化分母重写的过程是不是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/simplify-fractions/" class="wiki_link" title="理性的表达"target="_blank">理性的表达一个>它在分母中包含一个根号作为一个等价的有理式它在分母中不包含根号。<!--end-definition -->
下面的等式是平方根定义的直接结果,它在分母合理化的过程中是至关重要的:
让 是正实数。然后,
使分母合理化涉及到乘法的恒等性质:即分子和分母乘以相同的数会得到一个等价的有理表达式。在这种情况下,我们选择的数字是平方根。
让 是正实数。为了合理化这个分数 ,分子和分母都要乘以 .这相当于将表达式乘以 ,因此得到的表达式等于 :
使下列表达合理化:
合理化将有助于计算,因为分母将是一个整数:
的分母合理化 .
我们有
有时,您会遇到分母,其中一个不利的项与另一个相加,使两者看起来不可分割。在这些情况下,你必须乘以这个数的共轭。
的共轭二项数的 是数量 .当它乘以原来的数时,就会产生 .<!--end-definition -->
可以很简单地证明这个方法总是有效的:
我们有
我们可以用这个乘以共轭的技巧来有理化分母加上加法或减法。
使下列表达合理化:
为了使它合理化,乘上共轭:
对下面的表达式进行理性化,求出a + b的值:
为了使它合理化,乘上共轭:
负数的平方根
您可能已经注意到,这些问题或例子中没有一个涉及到求负数的平方根。
找到…的价值 .
一个非负数的平方结果是什么它不是 ,因为 结果积极的 .
即使我们允许自己用一个负数来回答,我们仍然不会得到一个好的结果。它不能被 ,因为 积极的结果 .
结果是没有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数"target="_blank">实数一个>值 .
评估 要求<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/imaginary-unit/" class="wiki_link" title="虚数单位"target="_blank">虚数单位一个>, .
因为 , .因此, .
的虚数单位, ,是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复数"target="_blank">复数一个>满足以下方程:
引入复数后,任何负数的平方根都可以求出:
让 是正实数。然后,
计算平方根的算法
非负的,非完全平方实数的平方根总是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数"target="_blank">无理数一个>.找到这种平方根的十进制表示通常需要借助计算器来完成。然而,有时您可能被要求手动计算一些非完全平方数的平方根。
求出根号39到小数点后3位。
我们有
因此,根号39到小数点后3位是6.245。
用计算器检查一下,你会发现答案是正确的。但这是怎么回事呢?方法是什么?它看起来就像一堆随机数。这个方法类似于长除法,不同的是你在减法后把两位数而不是一位数拿下来。方法如下:
为 小数点后,写 小数点后的数字,除以 数字对(空数字被认为是0,如上所示)。对于小数点左边的数字,将从最右到最左的数字配对。最后的配对将是1位或2位数字。
如果有1个数字,那么这个数字就是单独的。如果有两个数字,则可以配对。<!--end-hidden -->
现在我们在小数点右边画两列。这一列被称为红利列;左边的是除数,右边的是商的面积。现在,从最左边的一对数字,或者说是一对数字,找出平方小于1或2位数的最大正整数。在上面的例子中,满足这个条件的最大整数是6,因为 .我们把6放在除数列,把6放在商列。
我们从第一对数字中减去这个数字的平方,然后把下一对放下来。在上面的例子中,我们做了减法 得到 ,然后下降 从列的顶端得到 .
我们把这个数从除数到自身相加,然后把它移到左边。现在我们要找一个整数 这样 ,在那里 指将旧除数与自身和相加后得到的数 指的是将数字连接起来 , 而且 .一旦我们找到了 ,我们把它写下来,放在商的下一个数。例如,上面,我们有 ,所以 自 .
现在,我们得到了根号的第一位。现在,我们把第一个除数和第一个数字相加。那我们得找个数字 这样 现在的余数 是第二个红利。例如在上面的例子中,第一步如下: 现在,我们把蓝色的6加起来,得到 .
然后我们要找到一个能放进盒子里的数字 .
我们可以看到, 而且 .
所以,我们把 在盒子里,也就是。 .
所以,我们终于有了我们找到了 ,然后从新的红利中减去这个,然后把下一对放下来。例如,上面,我们有 于是下一个新红利就产生了 .
添加数量 来 ,然后再向左移动。重复步骤4-6,直到所有对都耗尽。现在您已经手动确定了平方根。
虽然上面给出的方法很好,但是如果需要很多小数点后的位置,它也会稍微长一些。当有效数字的数量优先时,我们需要一个更好的算法。
提出了巴比伦式的计算方法 :
选择一个号码 这样 .
定义一个序列 它由以下公式递归构建:
.
Python中的实现:
1 2 3 4 5 6 |
|
执行中的代码:
1 2 3 4 5 6 7 |
|
与实际值比较 ;该算法返回一个正确的数字,最多16个有效数字,只需要7次迭代。
我们可以得到的近似值 来8到16个有效数字如果我们选择的话,需要3到4次迭代 适当。
这是以下不等式的结果,证明如下:
如果 而且 ,然后
所以,如果 prefrerably ,则误差迅速减小。通常,这样做,取 是充分的。在这里 表示<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ceiling-function/" class="wiki_link" title="天花板上的函数"target="_blank">天花板上的函数一个>.
我们有 我们第一次显示 对于任何 .
根据AM-GM不等式, 我们不可能有平等 .
从这里,很容易看出如果 然后 所有整数都相等吗 .现在, 所以, 通过归纳法,很容易看出来 为 .
请注意, 作为 ,然后
这就完成了证明。
下面的例子说明了这种方法:
计算 正确的六位小数。
让我们以 .我们来算出的值 :
因此,我们只需要计算三次迭代。这是因为以下的不平等 请注意, :
迭代,得到
因此, 是6.244998。
注意:
- 注意,在两次迭代之后,我们得到的值 更正为三个小数,而上一种方法需要进行三次迭代。
- 此方法只需要3次迭代,而上一个方法则需要6次迭代。<!--end-hidden -->
计算 正确的三十位小数。
让我们以 .让我们计算 :
这意味着 自
因此我们需要计算5迭代得到 正确的三十个小数!
迭代,我们得到(这里只显示了10位数字)
注意:经过20次迭代,的值 来超过一百万个数字众所周知!<!--end-hidden -->
有关近似平方根的详细信息,请参见<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/approximation-of-square-roots/">在这里一个>.
复数的平方根
复数的平方根有些模棱两可。非实数复数既不是正的也不是负的,所以没有明确定义哪个平方根是主平方根。因此,当对复数使用平方根运算时,结果被解释为所有方程的解:
让 是复数。最多有两个值 它们等于方程的解
注意,当对复数使用平方根运算时,在只有一个结果的意义上,平方根运算并没有很好的定义。
求平方根 用一般方法。
假设 .然后, .
方程的实部相等和方程的虚部相等给出
解这个方程组得到
因此,
一般来说,对于复数 这样 ,
另一种方法,使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-formula/" class="wiki_link" title="欧拉公式"target="_blank">欧拉公式一个>,表示复数 在表单中 在哪里 而且 .这里有一个例子:
求根号下 使用欧拉公式。
让 这 .自 ,我们有
现在,
因此,与 ,我们得到 和之前的答案是一样的,但是计算起来快多了。
任何复杂的数 可以写在<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/polar-coordinates/">极坐标形式一个>作为
在哪里 而且 .考虑平方根,将其幂提高到一半,然后应用<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/de-moivres-theorem/">De Moivre定理一个>: