完美方块，方块和超能力

一个完全平方是一个整数它可以表示为两个相等整数的乘积。例如, $One hundred.$是完全平方，因为它等于 $10 \乘以10$．如果 $N$是整数吗 $N ^ 2$是一个完全平方。因为这个定义，完全平方总是非负的。

同样,一个完美的多维数据集是一个整数它可以表示为三个相等整数的乘积。例如, $27$是完美的立方体，因为它等于 $3乘以3乘以3。$确定一个数字是完全平方、立方或更高的幂，可以从质因数分解的号码。

列出 $10$取最小的平方数。

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我们有

$\{数组}{c}开始四维^ 2 = 0,& (\ pm1) ^ 2 = 1, & (\ pm2) ^ 2 = 4, &(\量子化学)^ 2 = 9 & (\ pm4) ^ 2 = 16日\ \ (\ pm5) ^ 2 = 25日& (\ pm6) ^ 2 = 36 & (\ pm7) ^ 2 = 49, & (\ pm8) ^ 2 = 64 &(\莎莎)^ 2 = 81。\{数组}结束$

因此，答案是

$0 1 49 16 25 36 49 64 81。\ _ \广场$

求两个相邻的完全平方数之间的差值，距离最小值9。例如，start from

$1 ^ 2 - 0 ^ 2 = 1 - 0 = 1。$

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我们有

$c \开始{数组}{}& 1 ^ 2 - 0 ^ 2 = 1 - 0 = 1,2 ^ 2 - 1 ^ 2 = 4 - 1 = 3,\ \ 3 ^ 2 - 2 ^ 2 =蓝鸟队= 5,4 ^ 2 - 3 ^ 2 =拿下= 7,\ \ 5 ^ 2 - 4 ^ 2 = 25-16 = 9,6 ^ 2 - 5 ^ 2 = 36-25 = 11日\ \ 7 ^ 2 - 6 ^ 2 = 49-36 = 13日8 ^ ^ 2 = 64 - 49 = 2 - 7日15日\ \ 9 ^ 2 - 8 ^ 2 = 81 - 64 = 17。\{数组}结束$

因此，答案是

$1,3,5,7,9,11,13,15,17。\ _ \广场$

下面哪个是不一个完美的平方?

$c \开始{数组}{}& (a) ~ 125 &&& (b) ~ 144 &&& (c) ~ 441 &&& (d) ~ 225 \{数组}结束$

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自 $144=12乘以12,441=21乘以21，$和 $225 = 15 \ * 15,$没有一个 $(b)、(c)$和 $(d)$就是答案。现在, $125=5 × 5 × 5=25 × 5，$这不是一个完美的正方形，而是一个完美的立方体。答案是 $(一)。$ $_ \广场$

在下面的方程中， $a、b$和 $c$都是不同的正整数(这是毕达哥拉斯定理)：

$^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2。$

的最小可能值是多少 $c ?$

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观察到

$3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 \意味着9 + 16 = 25。$

那么答案是 $c = 5。$ $_ \广场$

正数是多少 $一个$式中:

$5 ^ 2 ^ 2 + 12 ^ 2 = ?$

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观察到

$5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 25 + 144 = 169 = 13 ^ 2。$

那么答案是 $= 13。$ $_ \广场$

它们之间的完全平方数是多少 $301$和 $399年?$

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观察到

$c \开始{数组}{}& (\ pm17) ^ 2 = 289 & (\ pm18) ^ 2 = 324, & (\ pm19) ^ 2 = 361 & (\ pm20) ^ 2 = 400。\{数组}结束$

那么答案是 $324$和 $361.$ $_ \广场$

关于完全平方的一些性质如下(此处省略证明):

1. 完全平方数不能有一个个位数是2 3或7。(你可以自己看看。)
2. 偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数。
3. 所有的奇数平方都是这种形式 $4 n + 1$，因此所有的形式都是奇数 $4 n + 3$,在那里 $n$是正整数，不是完全平方。例如，361可以写成 $4乘以90 + 1，$我们知道 $361 = 19 ^ 2。$然而，843不是一个完全平方，因为 $29 ^ {2} = 841$和 $30 ^ {2} = 900;$它可以表示为 $4乘以210 + 3。$
4. 所有的表格都是偶数 $4 n + 2$,在那里 $n$是正整数，不是完全平方吗
5. 所有的偶数都能被4整除。(你可以取任意一个偶数来检查这个。)
6. 两个奇数平方的差是8的倍数。例如, $15^{2} - 11^{2} =104，$这是 $8 \乘以13。$
7. 第一个的和 $n$奇数实际上是 $n ^ 2。$例如, $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36。$这里有6个奇数，所以我们可以找到这个和 $n ^ 2 = 6 ^ 2。$同样的, $1 + 3 + 5 + \ cdots + 57 = 784,$作为 $n = 28$在这里。
8. 第一个的和 $n$完全平方数 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} +\cdots+n^{2}$是由 $\压裂{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}。$
9. 如果 $p$分 $一个^ {2},$然后 $p$分 $一个$欧几里得定理。由此，我们可以说，如果一个数的质因数分解包含所有质数的偶数次幂，那么它就是一个数的完全平方。
10. 给定两个正整数 $K$和 $米,$如果 $K ^ 2米$是整数的平方吗 $n,$然后 $k - n$分 $m。$

平方数的结束数字(我们考虑十进制系统):

• 如果一个数的个位是1或9，那么它的平方的个位就是1。
• 如果一个数的个位是2或8，那么它的平方数的个位是4。
• 如果一个数的个位是3或7，那么它的平方数的个位是9。
• 如果一个数的个位是4或6，那么它的平方数的个位是6。
• 如果一个数的个位是5，那么它的平方的个位就是5。
• 如果一个数的个位是0，那么它的平方的个位就是0。

对此的证明留给读者。

当你把某物做立方时，就是把它自身乘三次。例如, $5^3 = 5 × 5 × 5 = 125$．正数的立方是正数，负数的立方是负数。

从最小的开始列出10个完美的非负立方体。

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我们有

$\{数组}{c}开始0 ^ 3 = 0,& 1 ^ 3 = 1 & 2 ^ 3 = 8日& 3 ^ 3 = 27日& 4 ^ 3 = 64 \ \ 5 ^ 3 = 125,& 6 ^ 3 = 216 & 7 ^ 3 = 343 & 8 ^ 3 = 512 & 9 ^ 3 = 729。结束\{数组}$

因此答案是

$0,1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729。\ _ \广场$

下面给出了完美立方的一些简单性质。这里省略了对它们的证明。

1. 每个正方体都有数字根1 8 9。我们所说的“数字根”指的是在得到单个数字之前所做的所有数字的总和。例如，数字根1234可以通过以下方法得到 $1 + 2 + 3 + 4 = 10。$因为我们得到了一个两位数的数，我们再把两位数相加得到 $1 + 0 = 1,$也就是1234的数字根。数字54有数字根 $5 + 4 = 9。$请注意，如果一个数字有数字根1、8或9，并不一定意味着它是一个完美的正方体(就像54的情况一样，它有数字根9，但不是一个完美的正方体)。这可以用模运算来证明。
2. 完美立方体的单位数可以是0到9之间的任何数字。
3. 第一个的和 $n$完美的数据集 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} +\cdots+ n^{3}$是 $左(\ \压裂{n (n + 1)}{2} \右)^{2}。$这个等于第一个的和的平方 $n$自然的数字。
4. 每个正有理数都可以表示为三个有理数立方体的和。
5. 用四个奇数的和来表示任何完美的立方体都是可能的。例如, $64 = 13 + 15 + 17 + 19。$

完美立方体的单位数:

• 如果一个数以0结束，那么它的立方体以0结束。
• 如果一个数的尾数是2，那么它的立方体尾数是8。
• 如果一个数的尾数是3，那么它的立方体尾数是7。
• 如果一个数以4结尾，那么它的立方体以4结尾。
• 如果一个数以5结尾，那么它的立方体以5结尾。
• 如果一个数以6结尾，那么它的立方体以6结尾。
• 如果一个数的尾数是7，那么它的立方体的尾数是3。
• 如果一个数的尾数是8，那么它的立方体的尾数是2。
• 如果一个数的尾数是9，那么它的立方体的尾数就是9。

对此的证明留给读者。

以下7个数字中只有6个是完美的立方体。哪一个是不？

$8000、\ 15625、\ 40323、\ 132651、\ 941192、\ 103823、\ 42875$

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通过应用 $1 ^ \文本{圣}$属性，则40323的数字根为 $4+0+3+2+3= 12 \ 1+2=3$因此，40323不是一个完美的立方体。 $_ \广场$

完全幂是方形和立方体的更一般形式。具体来说，它是可以写成非负乘积的任何数整数乘以自己至少两次。换句话说，它是形式的 $n ^ m$对于一些整数 $n \通用电气0$和 $m > 1。$

这组完美的力量是联盟完全平方，完全立方，完全四次方，等等。小于或等于的完美幂 $One hundred.$是

$0、1、4、8、9、16、25、27日,32岁,36岁,49岁,64年,81100年。$

下面给出了一些简单的结果。这些的证明被省略了。

• 的 $n ^ \文本{th}$以5为单位的数的幂还是以5为单位。
• 的 $n ^ \文本{th}$个位为1的数的幂还是个位为1。
• 的 $n ^ \文本{th}$以0为单位的数的幂是0。
• 的 $n ^ \文本{th}$以6为单位的数的幂是6。
• 一个数的个位数是原数的个位数。事实上, $5 = 10 ^ {m} +一个,$在哪里 $一个$和 $米$都是正数(来自欧拉的一个著名定理)。
• 0的 $n ^ \文本{th}$幂为0，其中 $n$不等于零。0的0次方没有定义。
• 1 $n ^ \文本{th}$权力是1。
• 10的几次方的位数 $n$是 $n + 1,$哪里会有 $n$0。
• 每一个 $4^\text{th}， 6^\text{th}， 8^\text{th}， ....文本(2 n) ^ \ {th}$正整数的幂是完全平方。

下面哪个是最大的?

$2^8, 3^6, 7^4, 5^4, 10^3, 4^6?$

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我们有

$\begin{array}{c}2^8 = 512， & 3^6 = 729， & 7^4 = 2401， & 5^4 = 625， & 10^3 = 1000， &4^6 = 4096。结束\{数组}$

因此 $4 ^ 6$是这些数字中最大的。请注意，对于给定的一组数字，有更好的方法来确定哪个是最大的，哪个是最小的;以上的幂都很容易计算。

找出其中的位数 $64 ^ {7}$,鉴于 $6 ^ {7} = 279936$和 $7 ^{7} = 823543。$

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因为我们有 $6 ^ {7}$和 $7 ^ {7}$，我们可以很容易地看到，在60到70之间的任何正整数的位数实际上是13。是这样:如果 $n$大于 $米,$然后 $n$提高到 $k$大于 $米$提高到 $k,$在哪里 $n$和 $米$为实数 $k$为正整数。知道了这个，我们就能求出里面的位数 $64 ^ {7}:$

$\begin{array}{c}60^7 = 6^7 \times 10000000 = 2799360000000， & 70^7 = 7^7 \times 10000000 = 8235430000000。结束\{数组}$

因为两个 $60 ^ {7}$和 $70 ^ {7}$有相同数目的数字和 $60 ^ {7}$小于 $64 ^ {7}$但 $64 ^ {7}$小于 $70 ^ {7}$， $64 ^ {7}$必须有相同数目的数字。因此 $64 ^ {7}$有13个数字。 $_ \广场$

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