勒让德的象征

的勒让德的象征是否有一个函数编码一个数是否为a的信息二次剩余对奇素数取模。它被用在法律中二次互反性为了简化符号。因为Legendre符号是如此紧凑，具有如此有用的性质，它是进行计算和回答与二次留数有关的问题的无价工具。

让 $p$是奇数的质数 $一个$是一个整数。

勒让德的象征 $一个$关于 $p$被定义为

$\left(\ drac {a}{p}\right)= begin{cases}1 & \text{if} a \text{is a二次剩余模}p\ text{and} a \not\equiv 0\pmod{p}\\-1 & \text{if} a \text{is a二次非剩余模}p\\0 & text{if} a \equiv 0\pmod{p} .\end{cases}$

1. (欧拉准则) $p$是奇素数吗 $一个$一个整数不能被整除吗 $p$,然后 $^{\压裂{p - 1}{2}} = \离开(\ dfrac{一}{p} \) \ pmod p。$
2. 如果 $A \相等b \pmod p$,然后 $左(\ \ dfrac{一}{p} \右)= \离开(\ dfrac {b} {p} \右)$．
3. $左(\ \ dfrac {ab} {p} \右)= \离开(\ dfrac{一}{p} \) \离开(\ dfrac {b} {p} \右)$；也就是函数 $F (a) = left(a}{p} \right)$是一个完全乘法函数．
4. $左(\ \ dfrac {1} {p} \右)=(1)^{\压裂{p - 1} {2}}$，就是这样 $1$当且仅当 $p \枚1$国防部 $4$．
5. $左(\ \ dfrac {2} {p} \右)=(1)^{\压裂{p ^ 2 - 1} {8}}$对于奇素数 $p$，就是这样 $1$当且仅当 $P \equiv \pm 1$国防部 $8$．
6. （二次互易定律)如果 $p$和 $问$是不同的奇质数吗 $左(\ \ dfrac {q} {p} \) \离开(\ dfrac {p} {q} \右)=(1)^{\压裂{p - 1}{2} \压裂{q1}{2}}。$

属性1:分为两部分:第一部分是计算 $一个^{\压裂p - 1} {2}$国防部 $p$为 $一个$一个正方形，然后是for $一个$不是一个广场。
如果 $一个= x ^ 2$,然后 $x ^ {p - 1} \ 1枚$国防部 $p$（费马小定理)可以重写为 $大(x ^ 2 \ \大)^ {(p - 1) / 2} \ 1枚$国防部 $p$,所以 $一个^{\压裂p - 1}{2} \ 1枚$国防部 $p$．
现在假设 $一个$不是正方形。请注意，如果 $1 x p-1$，有一种独特 $y$在同一范围内如此 $xy \枚$国防部 $p$． $（$写作 $y \枚ax ^ {1}$国防部 $p$说得通，因为每一个这样的 $x$有一个独特的乘法逆元国防部 $p。)$请注意, $x \ ne y$因为 $一个$不是正方形。所有元素的乘积 $1$和 $p - 1$可以分解成 $\压裂{p - 1} 2$成对的乘积的形式 $xy$．这给了 $\大($与 $p ' = \压裂{p - 1}{2} \大)$ $(p - 1) !\枚(x_1y_1) (x_2y_2) \ cdots(间{p '} y_ {p '}) \枚一\ \ cdot cdots \枚一^{\压裂p - 1} {2} \ pmod p$但 $(p - 1) !\ 1枚$通过威尔逊定理，结果如下。 $_ \广场$

属性2直接来自定义。

性质3是根据性质1和指数定律得出的。

性质4和性质1是一致的，因为如果两个数对奇数质数取余 $p$两者都在 $\ {1 0 1 \}$，它们必须相等。

性质5和性质6在二次互反性页面．注意，属性6可以写成 $左(\ \ dfrac {q} {p} \右)=(1)^{\压裂{p - 1}{2} \压裂{q1}{2}} \离开(\ dfrac {p} {q} \右)。$

属性4和属性5通常被称为第一和第二补编二次互易定律。

最后三个属性结合在一起给出了一个高效计算Legendre符号的蓝图 $左(\ \压裂{一}{p} \右)$．下面是这样计算的几个例子。

是 $74$二次剩余模 $131年?$

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使用性质:

${对齐}\ \开始离开(\压裂{74}{131}\右)& = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{37}{131}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{131}{37}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{20}{37}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{4}{37}\)\离开(\压裂{5}{37}\)\ \ & =左(\ \压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{4}{37}\)\离开(\压裂{37}{5}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{4}{37}\右)左(\ \压裂{2}{5}\ ) \\\\ &= - 1 \ \ cdot cdot 1 1 = 1,结束\{对齐}$

最后一行是在哪里第二补充部分 $4 = 2 ^ 2$，所以答案是肯定的。的确, $27 ^ 2 \ 74枚$国防部 $131$，但是请注意，Legendre符号计算并没有给出解的信息 $x ^ 2 \枚$国防部 $p$当他们存在。 $_ \广场$

这个例子展示了使用Legendre符号进行计算的一般策略:将顶部分解为质数的乘积，使用性质3将其分解为Legendre符号的乘积，计算 $左(\ frac2 \ p{} \右)$使用属性5的符号，使用属性6翻转其他Legendre符号，并重复。进程结束，并且相对较快(速度类似于欧几里得算法)．

这个过程中一个潜在的症结是因式分解步骤，如果涉及的整数足够大。事实上，勒让德符号有一个概括叫做雅可比的象征这样就不需要在这些计算中考虑分子因素了。

的质数 $p \通用电气5$是 $－３$一个正方形国防部 $p ?$

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计算

${对齐}\ \开始离开(\压裂{3}{p} \右)& = \离开(\压裂{1}{p} \右)左(\ \压裂{3}{p} \ ) \\ &= (- 1) ^{\压裂p - 1} {2} \ cdot(1) ^{\压裂p - 1}{2} \离开(\压裂{p}{3} \) \ \ & = \离开(\压裂{p}{3} \右),结束\{对齐}$

这是 $1$当且仅当 $p \枚1$国防部 $3.$．所以答案是:质数和 $1$国防部 $3.$． $_ \广场$

1. 模运算
2. 二次残留
3. 雅可比的象征
4. 二次互易定律