勒让德的象征

的勒让德的象征是一个函数，它对有关数字是否为数字的信息进行编码二次剩余对奇素数取模。它被用在法律中二次互易为了简化符号。因为Legendre符号是如此紧凑，具有如此有用的性质，它是进行计算和回答与二次留数有关的问题的无价工具。

允许 $p$是奇数的质数 $一个$是一个整数。

勒让德的象征 $一个$关于 $p$被定义为

$\left(\ drac {a}{p}\right)= begin{cases}1 & \text{if} a \text{is a二次剩余模}p\ text{and} a \not\equiv 0\pmod{p}\\-1 & \text{if} a \text{is a二次非剩余模}p\\0 & text{if} a \equiv 0\pmod{p} .\end{cases}$

1. (欧拉准则) $p$是奇素数吗 $一个$一个整数不能被整除吗 $p$,然后 $^{\压裂{p - 1}{2}} = \离开(\ dfrac{一}{p} \) \ pmod p。$
2. 如果 $A \相等b \pmod p$,然后 $\左（\dfrac{a}{p}\right）=\left（\dfrac{b}{p}\right）$．
3. $左(\ \ dfrac {ab} {p} \右)= \离开(\ dfrac{一}{p} \) \离开(\ dfrac {b} {p} \右)$；也就是函数 $F (a) = left(a}{p} \right)$是一个完全乘法函数．
4. $\左（\dfrac{-1}{p}\right）=（-1）{\frac{p-1}{2}$，就是这样 $1$当且仅当 $p相当于1$国防部 $4$．
5. $左(\ \ dfrac {2} {p} \右)=(1)^{\压裂{p ^ 2 - 1} {8}}$对于奇素数 $p$，就是这样 $1$当且仅当 $P \equiv \pm 1$国防部 $8$．
6. （二次互易定律)如果 $p$和 $问$是不同的奇素数，我们有 $左(\ \ dfrac {q} {p} \) \离开(\ dfrac {p} {q} \右)=(1)^{\压裂{p - 1}{2} \压裂{q1}{2}}。$

属性1:分为两部分:第一部分是计算 $一个^{\压裂p - 1} {2}$国防部 $p$为 $一个$一个正方形，然后是for $一个$不是一个广场。
如果 $一个= x ^ 2$,然后 $x ^ {p - 1} \ 1枚$国防部 $p$（费马小定理)可以重写为 $大(x ^ 2 \ \大)^ {(p - 1) / 2} \ 1枚$国防部 $p$,所以 $一个^{\压裂p - 1}{2} \ 1枚$国防部 $p$．
现在假设 $一个$不是正方形。请注意，如果 $1 x p-1$，有一个独特的 $y$在同一范围内如此 $xy \枚$国防部 $p$． $（$写作 $y\equiv ax^{-1}$国防部 $p$说得通，因为每一个这样的 $x$有一个独特的乘法逆元国防部 $p。)$请注意, $x \ ne y$因为 $一个$不是正方形。所有元素的乘积 $1$和 $p - 1$可以分解成 $\压裂{p - 1} 2$形式的成对乘积 $xy$. 这给 $\大($与 $p ' = \压裂{p - 1}{2} \大)$ $(p - 1) !\枚(x_1y_1) (x_2y_2) \ cdots(间{p '} y_ {p '}) \枚一\ \ cdot cdots \枚一^{\压裂p - 1} {2} \ pmod p$但 $（p-1）\当量-1$通过威尔逊定理，结果如下。 $_ \广场$

属性2直接来自定义。

属性3源自属性1和指数定律。

性质4和性质1是一致的，因为如果两个数对奇数质数取余 $p$两者都在 $\ {1 0 1 \}$，它们必须相等。

性质5和性质6在二次互反性页面．注意，属性6可以写成 $左(\ \ dfrac {q} {p} \右)=(1)^{\压裂{p - 1}{2} \压裂{q1}{2}} \离开(\ dfrac {p} {q} \右)。$

属性4和属性5通常被称为第一和第二补编二次互易定律。

最后三个属性结合在一起给出了一个高效计算Legendre符号的蓝图 $左(\ \压裂{一}{p} \右)$．下面是这样计算的几个例子。

是 $74$二次剩余模 $131?$

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使用以下属性：

${对齐}\ \开始离开(\压裂{74}{131}\右)& = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{37}{131}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{131}{37}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{20}{37}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{4}{37}\)\离开(\压裂{5}{37}\)\ \ & =左(\ \压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{4}{37}\)\离开(\压裂{37}{5}\)\ \ & = \离开(\压裂{2}{131}\)\离开(\压裂{4}{37}\右)左(\ \压裂{2}{5}\ ) \\\\ &= - 1 \ \ cdot cdot 1 1 = 1,结束\{对齐}$

最后一行是在哪里第二补充部分 $4 = 2 ^ 2$，所以答案是肯定的。的确, $27 ^ 2 \ 74枚$国防部 $131$，但是请注意，Legendre符号计算并没有给出解的信息 $x^2\相当于a$国防部 $p$当它们存在时。 $_ \广场$

这个例子展示了使用Legendre符号进行计算的一般策略:将顶部分解为质数的乘积，使用性质3将其分解为Legendre符号的乘积，计算 $左(\ frac2 \ p{} \右)$使用属性5的符号，使用属性6翻转其他勒让德符号，然后重复。进程终止，并且相对较快（速度与欧几里得算法)．

如果涉及的整数足够大，这个过程中的一个潜在症结就是分解步骤。事实上，勒让德符号有一个泛化，叫做雅可比的象征这样就不需要在这些计算中考虑分子。

的质数 $p \通用电气5$是 $-3$方形模型 $P$

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计算

$\开始{aligned}\left（\frac{3}{p}\right）&=\left（\frac{1}{p}\right）\left（\frac{3}{p}\right）\&=（-1）{frac{p-1}2}\cdot（-1）{frac{p-1}\2}\left（\frac{p}\p}\3}\right）\&=\frac{$

这是 $1$当且仅当 $p相当于1$国防部 $3.$. 所以答案是：素数与 $1$国防部 $3.$． $_ \广场$

1. 模运算
2. 二次残留
3. 雅可比的象征
4. 二次互易定律