二次残留
完全平方的整数很少;只有 集合中的整数 都是完全平方。另一方面,给定一个奇质数 ,是平方的整数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模" target="_blank">模 都比较常见。事实上,事实恰恰如此一半之间的整数 而且 都是平方mod ;这就是同余 国防部 有一个解决方案 的值的一半 在 .
如果 而且 那么互素是整数吗 叫做二次剩余模 如果同余 有一个解决方案。同样地,如果它没有解,则称为a二次无剩余模 .
下一个自然的问题是,“假设 二次余模是什么 “这个问题及其答案在数论和密码学中非常有趣。
一个明确的例子
求二次余模 .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .
当 , .二次余数取余 是 ,非残差为 .
注意:与相等的数 既不是残渣也不是非残渣。
残馀数
注意,上面用颜色标注的数字的顺序是 .也就是说,
- 第一个数字和最后一个数字是平等的;
- 第二个数字和倒数第二个数字是平等的;
- 第三个数和最后第三个数是平等的等等。
这是因为 .非零数的前半部分的平方取余 给出一个完整的非零二次余模的列表 .总的来说,我们有以下事实:
事实:如果 是不是奇数质数,剩余类 是不同的,并给出了二次残差模的完整列表 .所以有 残留物, 非残差(注意我们没有计算0,如上所述)。
他们给出了一个完整的列表 而且 都是一样的mod 如例子所示。要看到它们是不同的,请注意
这是不可能的 而且 集合中的两个不同的成员 .
一个著名定理的应用
让 做一个质数。证明一致性 国防部 总有解决办法 .
很明显 所以假设 是奇数。以上工作表明存在 的元素 可以写成 国防部 ,出于同样的原因 的元素 可以写成 国防部 .因为这两个子集的大小之和是 而且 有 元素,两个子集必须在某个地方重叠,即。
对于一些 .
上述结果恰好是拉格朗日著名引理的证明中的一个关键引理四平方定理,即每个正整数都可以写成四个整数平方和。(请参阅维基<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="平方和定理" target="_blank">平方和定理.)
解丢番图方程
用于计算二次残差模的技术 都包含在文章中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德符号" target="_blank">勒让德符号.本节主要讨论一般二次丢番图方程,包括模量不是素数的情况。
对于二次丢番图方程,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/completing-the-square/" class="wiki_link" title="完成正方形" target="_blank">完成正方形通常是有帮助的。
判断是否存在整数 这样 分 .
对37取模
所以这个有解当且仅当 二次余模吗 .通过检查, 国防部 ,所以方程有解;设置 给了 作为他们中的一员。
对于复合模量,为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chinese-remainder-theorem/" class="wiki_link" title="中国剩余定理" target="_blank">中国剩余定理是将问题分解为质数功率模的重要工具。
确定正整数的个数 不到1000这样的时候 除以840,余数是60。
把它转换成同余,我们有 .将840分解为质数的乘积得到 .
所以我们有 .
前两个同余暗示 国防部 .
解另外两个同余可以证明 .根据中国余数定理, 而且 .
根据中国余数定理, .的限制 ,有 解决方案: .