二次互易律

在数论中二次互易律是一个关于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-residues/" class="wiki_link" title="二次残留" target="_blank">二次残留对奇数质数取模。法律允许我们确定形式是否一致 $X ^2 \等于a$国防部 $p$有一个解决方案，通过给出一个蓝图来计算<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德的象征" target="_blank">勒让德的象征 $(\ \大裂缝分析{一}{p} \大)$为 $p$一个奇素数和 $P \nmid a$．有关使用二次互易定律的显式计算示例，请参见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德的象征" target="_blank">勒让德的象征．二次互易在数论和密码学中都有应用。

这个定理是最容易表述的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德符号" target="_blank">勒让德符号．主定理的表述是

$\ \大左(\ dfrac {p} {q} \) \离开(\ dfrac {q} {p} \右)=(1)^{\压裂{p - 1}{2} \压裂{q1} {2}},$

在哪里 $p$而且 $问$奇数是质数，和 $左(\ \压裂{p} {q} \右)$为勒让德符号。

关于勒让德符号还有另外两个结果，它们通常与二次互易定律归为一类，称为第一期和第二期增刊对法律:

$左(\ \ dfrac {1} {p} \右)=(1)^{\压裂p - 1} {2} \ qquad \离开(\ dfrac {2} {p} \右)=(1)^{\压裂{p ^ 2 - 1} 8}。$

第一个补充是在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德的象征" target="_blank">勒让德的象征页，并且第二补充证明一般作为二次互易律主证明的一部分。

大多数初等证明都使用高斯引理关于二次残差。

引理:
假设 $p$是奇质数和吗 $P \nmid a$．然后考虑 $\压裂{p - 1} 2$不同的整数

$c \开始{数组}{}和~文本\ p {mod}, &2a ~文本\ p {mod}, & \ ldots & \离开(\压裂{p - 1} 2 \右)~ \ p {mod}文本。\{数组}结束$

$（$这里，当我们说" $b$国防部 $p$，我们指的是等于的最小正整数 $b$国防部 $p$，即除的余数 $b$通过 $p。)$让 $n$是大于的整数的个数 $\压裂p2。$然后

$\left(\dfrac{a}{p} \right) = (-1)^n。$

• 评估 $\左(\frac{3}{11} \右)$，高斯引理中的整数为 $3、6、9、1,4$，其中两个比 $\压裂{11}2$,所以 $\left(\frac{3}{11}\right) = (-1)^2 = 1$．事实上 $5^2 \等于3$国防部 $11$,所以 $3.$是平方模 $11日,$像预期的那样。
• 评估 $\左(\frac{3}{19} \右)$，高斯引理中的整数为 $3、6、9、12、15、18、2,5,8$，其中三个比 $\压裂{19}2$,所以 $\left(\frac{3}{19}\right) = (-1)^3 = -1$．所以同余 $X ^2 \equiv 3$国防部 $19$没有解。<！-- end-example -->

引理的证明:
评估产品 $A \cdot 2a \cdots \frac{p-1}2 A$国防部 $p$以两种不同的方式。通过重新排列项，我们得到

$A ^{\frac{p-1}2} \left(\frac{p-1}2 \right)!$

但是这个乘积也可以通过注意高斯引理中的每个不同整数都是任意一个来求出来 $x$或 $px$为 $1 \le x \le \frac{p-1}$，并显示每个 $x$的是不同的。将它们相乘，取mod $p$给了 $\左(\frac{p-1}2 \右)!$乘以若干个负号，等于若干个 $px$副本;但是有 $n$对于这些，符号是 $(1) ^ n$．结果如下<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="欧拉准则" target="_blank">欧拉准则取消 $左(\ \压裂{p - 1} 2 \右)!$． $_ \广场$

为了表明高斯引理在证明二次互易性方面的有用性，这里给出了符号的计算 $左(\ \压裂{2}{p} \右):$

• 为 $1 \le a \le左地板\frac p4右地板$， $2a < \frac p2$．
• 为 $\left\lfloor\frac p4 + 1 \right\rfloor \le a \le \frac{p-1}2$， $\frac p2 < 2a < p$．

所以这个数字 $n$在高斯引理中是的个数 $一个$第二种情况是 $\frac{p-1}2 - \left\lfloor\frac p4 \right\rfloor:$

• 如果 $p = 8 k + 1$， $N = 2k$,所以 $\left(\frac{2}{p} \right) = (-1)^{2k} = 1$．
• 如果 $p = 8 k + 3$， $N = 2k+1$,所以 $\left(\frac{2}{p} \right) = (-1)^{2k+1} = -1$．
• 如果 $p = 8 k + 5$， $N = 2k+1$,所以 $\left(\frac{2}{p} \right) = (-1)^{2k+1} = -1$．
• 如果 $p = 8 k + 7$， $N = 2k+2$,所以 $\left(\frac{2}{p} \right) = (-1)^{2k+2} = 1$．

所以 $\left(\frac{2}{p} \right) = 1 \Longleftrightarrow p \equiv \pm$国防部 $8$．但这些恰恰是 $p$的 $\压裂{p ^ 2 - 1} 8$是偶数，所以接下来是第二个补充。 $_ \广场$

1. 模运算
2. 二次残留
3. 勒让德的象征
4. 雅可比的象征