勒让德符号衡量是否
一个是一个方形模
p.不幸的是,Jacobi符号没有保留这个属性:
如果
肾小球囊性肾病(一个,n)=1和
一个是一个方形模
n,在哪里
n是正奇数吗
(n一个)=1;但反过来就不正确了。
要看到这一点,请注意if
一个是一个方形模
n,然后是一个方形模
p我为所有的质数
p我分
n,所以是Legendre符号
(p我一个)都等于
1,所以雅可比符号等于
1通过定义。但是,如果
一个不是正方形mod吗
p我对于一些
我,雅可比符号可能还在
1.
-
(92)=(3.2)2=(−1)2=1,但
2不是正方形mod吗
9
(它甚至不是一个正方形模
3.).
-
(3.53.)=(53.)(73.)=(−1)(−1)=1,但
3.不是正方形mod吗
3.5
(它不是一个方形模
5或
7).
(1)、(2)、(3)、(4)
(2)只
(2)和(4)
(3)和(4)
(4)只
下列哪个陈述是正确的?
73是对5取模后的二次剩余。
73是对83取余的二次剩余。
73是对415取模后的二次剩余。
(4)
(41573.)=1,在哪里
(n一个)是雅可比符号。
另一方面,勒让德符号的许多其他性质确实扩展到了雅可比符号。
让
米,n是正的奇整数
一个,b是整数。
- 如果
一个≡b(米odn),然后
(n一个)=(nb).
-
(n一个b)=(n一个)(nb);也就是函数
f(一个)=(n一个)是一个完全乘法函数.
-
(米n一个)=(米一个)(n一个).
-
(n−1)=(−1)2n−1,就是这样
1当且仅当
n≡1国防部
4.
-
(n2)=(−1)8n2−1,所以它是
1当且仅当
n≡±1国防部
8.
- (扩展二次互易律:)如果
米和
n是素数正奇整数,
(n米)(米n)=(−1)2米−12n−1.
(1)、(2)、(3)都是直接自定义的(并与之相应)勒让德符号的性质).另外三个是根据Legendre符号的相应性质推导出来的,然后进行归纳
n.为了说明,这里有一个证明(4)
((5)和(6)的证明是相似的
):
上的感应
n.当
n=1(基本情况),结果保持平凡。现在假设这个结果对小于的所有正奇数都成立
n.如果
n是素数,其结果是否为真定理勒让德的标志。如果
n复合,写
n=xy,在哪里
x和
y正奇数是否小于
n.根据归纳假设和性质(2),
(xy−1)=(x−1)(y−1)=(−1)2x−1(−1)2y−1=(−1)2x−1+2y−1
现在结果由下面的引理得出
如果
x和
y是奇怪,
2x−1+2y−1≡2xy−1(米od2).
根据是否,引理的证明可归纳为四种情况
x和
y是
1或
3.国防部
4,在所有四种情况下,这种说法都很容易得到验证。
引理暗示了
(xy−1)=(−1)2x−1+2y−1=(−1)2xy−1,
所以结果是成立的
n也因此,它适用于所有人
n通过强大的感应.
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