离散随机变量-概率密度函数(PDF)

的概率密度函数(PDF)的随机变量是描述每个特定事件发生概率的函数。例如，描述一次掷骰子结果的随机变量具有p.d.f。

${公关}\文本(X = X) ={病例}\ \开始压裂{1}{6}& X = 1 \ \ \压裂{1}{6}& X = 2 \ \ \压裂{1}{6}& X = 3 \ \ \压裂{1}{6}& X = 4 \ \ \压裂{1}{6}& X = 5 \ \ \压裂{1}{6}& X = 6 \{病例}结束$

一般来说，任何一点的p.d.f.值必须是非负的(因为负概率是不可能的)，并且概率的和必须等于1(因为只有一个结果必须出现)。

随机变量的p.d.f.在分析随机变量时是有用的期望值，以及其他措施，如方差而且中位数．

的期望值随机变量的值是每个情况的加权平均值，定义为:

$\mathbb{E}[X] = \sum_x X \cdot \text{Pr}(X= X)$

它根据每个结果发生的概率对其值进行加权。例如，掷一次骰子的期望值为

$\ mathbb {E} [X] = \压裂{1}{6}\ cdot 1 + \压裂{1}{6}\ cdot 2 + \ ldots + \压裂{1}{6}\ cdot 6 = 3.5$

请注意，期望值可以不表示最可能出现的值模式）;事实上，对于掷骰子来说，3.5是一个不可能的值。期望值的最佳解释是它在多次试验中的显著性;后 $n$掷骰子时，结果的总和近似为 $3.5 n$．这也是一个例子期望的线性，其中指出，对于任意两个(不一定是独立的随机变量 $X$而且 $Y$，

$\mathbb{E}[X+Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]$

在哪里 $X + Y$随机变量是否表示的和 $x$而且 $y$．在这个特殊的例子中，它说如果 $X_1 X_2 \ldots X_n$那么随机变量是否代表一次骰子滚动呢 $X_1 + X_2 + \ ldots + X_n$随机变量是否表示的和 $n$掷骰子，然后

$\ mathbb {E} (X_1 + X_2 + \ ldots + X_n] = \ mathbb {E} (X_1) + \ mathbb {E} (X_2) + \ ldots + \ mathbb {E} [X_n] = 3.5 n$

的方差是一个随机变量的测度分散，即数据如何“分散”，由数据到均值距离的平方之和定义。更具体地说,

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}[(X-\mu)^2]$

在哪里 $\μ= \ mathbb {E} [X]$的均值 $X$．

这通常改写为以下方式:

$文本\开始{对齐}\ {Var} [X] & = \ mathbb {E} [(X - \ mathbb {E} [X]) ^ 2] \ \ & = \ mathbb {E} [X ^ 2-2X \ mathbb {E} [X] + \ mathbb {E} [X] ^ 2] \ \ & = \ mathbb {E} [X ^ 2) 2 \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [X] + \ mathbb {E} [X] ^ 2 \ \ & = \ mathbb {E} [X ^ 2) - \ mathbb {E} [X] ^ 2 \{对齐}结束$

尽管均值总是相加的，但在附加的独立性假设下，方差也具有相应的性质:

$\text{Var}[X + Y] = \text{Var}[X] + \text{Var}[Y] \ \text{用于独立随机变量}\ X \ \text{和}\ Y。$

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