离散随机变量 - 概率密度函数（PDF）

当概率密度函数（PDF）A.随机变量是描述发生每个特定事件的概率的函数。例如，描述单个骰子辊结果的随机变量具有p.d.f.

$\文本{镨}（X = x）= \ BEGIN {箱子} \压裂{1} {6}＆X = 1 \\ \压裂{1} {6}＆x = 2时\\ \压裂{1} {6}＆x = 3 \\ \ frac {1} {6}＆x = 4 \\ \ frac {1} {6}＆x = 5 \\ \ frac {1} {6}＆x = 6 \结束{案例}$

一般来说，p.d.f的价值。在任何时候必须是非负（因为消极概率是不可能的），并且概率的总和必须等于1（因此必须发生一个结果）。

p.d.f.随机变量非常有用用于分析其预期价值以及其他措施如方差和中位数。

当预期价值随机变量是每种情况的加权平均值，由以下方式定义：

$\ mathbb {e} [x] = \ sum_x x \ cdot \ text {pr}（x = x）$

通过它发生的概率来重量每个结果的值。例如，单个骰子卷的预期值是

$\ mathbb {e} [x] = \ frac {1} {6} \ cdot 1 + \ frac {1} {6} \ cdot 2 + \ ldots + \ frac {1} {6} \ cdot 6 = 3.5$

请注意，预期值为不是意味着要发生的最可能的价值（模式）;实际上，3.5是模具滚动的不可能的价值。对预期价值的最佳解释是对多项试验的重要意义;后 $N$骰子卷，结果的总和近似 $3.5N.$。这也是一个插图期望的线性，哪两个规定了（不一定）独立的随机变量 $X$和 $y$那

$\ mathbb {e} [x + y] = \ mathbb {e} [x] + \ mathbb {e} [y]$

在哪里 $x + y$是表示总和的随机变量 $X.$和 $y$。在这个特殊的情况下，这说如果 $X_1，X_2，\ LDOTS，X_N$是表示单个骰子卷的随机变量，然后 $X_1 + X_2 + \ LDOTS + X_N$是表示总和的随机变量 $N$骰子卷，那

$\ mathbb {E} [X_1 + X_2 + \ ldots + X_n] = \ mathbb {E} [X_1] + \ mathbb {E} [X_2] + \ ldots + \ mathbb {E} [X_n] = 3.5N$

当方差随机变量是一种衡量标准分散或者如何“展开”数据，由从数据与平均值的平方距离的总和定义。进一步来说，

$\ text {var} [x] = \ mathbb {e} [（x-\ mu）^ 2]$

在哪里 $\ mu = \ mathbb {e} [x]$是卑鄙的 $X$。

这通常以下列方式重写：

$\ begin {对齐} \ text {var} [x]＆= \ mathbb {e} [（x-\ mathbb {e} [x]）^ 2] \\＆= \ mathbb {e} [x ^ 2-2x \ mathbb {e} [x] + \ mathbb {e} [x] ^ 2] \\＆= \ mathbb {e} [x ^ 2] -2 \ mathbb {e} [x] \ mathbb {e}[x] + \ mathbb {e} [x] ^ 2 \\＆= \ mathbb {e} [x ^ 2] - \ mathbb {e} [x] ^ 2 \ end {对齐}$

虽然平均值始终是附加的，但相应的属性在额外的独立假设下保持方差：

$\ text {var} [x + y] = \ text {var} [x] + \ text {var} [y] \ \ text {for独立随机变量} \ x \ \ text {and} \ y。$

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