期望值
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应用概率
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做出了贡献在概率论中的期望值是一个数值的理论平均值吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniform-probability/" class="wiki_link" title="实验" target="_blank">实验一个>经过多次重复的实验。期望值是衡量集中趋势;一个值,其结果往往会。当一个概率分布是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="正常的" target="_blank">正常的一个>,多数结果将接近预期值。
任何给定的随机变量包含了丰富的信息。它可以有很多(或无限)可能的结果,每个结果可能有不同的可能性。期望值是总结在一个单一的数值以上所有信息的方式。
定义
如果概率实验的样本空间只包含数值结果,则a随机变量是表示这些结果的变量。例如,掷一个公平的六面骰子的结果是一个随机变量,它以概率从1到6取每个值 61.这是a的一个例子<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/discrete-random-variables-definition/" class="wiki_link" title="离散随机变量" target="_blank">离散随机变量一个>.
对于一个离散随机变量,期望值可以通过将每个数值结果乘以该结果的概率,然后将这些乘积相加来计算。一个均匀的六面骰子的期望值计算如下:
61(1)+61(2)+61(3.)+61(4)+61(5)+61(6)=3..5.
让 X为离散随机变量。然后的期望值 X表示为 E[X]或 μ, 是
E[X]=μ=x∑xP(X=x).
一叠卡片中有一张标有 1,两张卡片上写着 2,三卡标记 3.和四张牌标有 4.如果打乱堆栈并抽到一张牌,抽到的牌的期望值是多少?
让 X为表示所抽牌值的随机变量。然后
P(X=1)P(X=2)P(X=3.)P(X=4)⇒E[X]=101=51=103.=52=(1×101)+(2×51)+(3.×103.)+(4×52)=3..
抽卡的期望值为 3..□
从测量理论的角度来看,让( Ω,F,P)是一个度量空间。为了计算一般随机变量的期望或积分,我们必须按照以下方式进行<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/axioms-of-probability/">公理的概率一个>对于a的定义 σ代数。
步骤1:期望, E{X}简单随机变量的
一个随机变量, X叫做简单,如果可以写成 X=∑我=1n一个我1一个我,这样 一个我形成一个分区 Ω,也就是说, ⋃我=1n一个我=Ω和 一个我∩一个j=∅∀我=j,每个 一个我=一个我.
现在我们可以将一个简单随机变量的期望定义为:E{X}=∑我=1n一个我P(一个我),在那里 P(一个我)是概率测量和每个 一个我∈F, F是一个 σ子集的代数 Ω. E{X}等价地写成 E{X}=∫X(ω)P(dω)或 ∫XdP
由于分区 Ω有很多不同的表示形式,我们必须证明,给定任意的表示形式,我们仍然会得到一个定义良好的期望概念。
的定义 E{X}简单随机变量的定义很好。
证明:
让 X=∑我=1n一个我1一个我和 Y=∑我=1nb我1Bj是两个简单的随机变量 ⋃我=1n一个我=Ω=⋃j=1米Bj在哪里 一个我∩一个l=∅∀我=l和 Bj∩Bk=∅∀j=k.注意,我们可以写出每一个 一个我=一个我∩Ω=一个我∩(⋃j=1米Bj)和每一个人 Bj=Bj∩Ω=Bj∩(⋃我=1n一个我).因此,我们可以重写我们的简单函数表示 X作为 X=∑我=1n一个我1一个我=∑我=1n一个我1一个我∩(⋃j=1米Bj).因为所有的 一个我和 Bj是不相交的,每个 一个我∩Bj形成的不相交并 Ω, 因此, X=∑我=1n一个我1一个我∩(⋃j=1米Bj)=∑我=1n∑j=1米一个我1一个我∩Bj.对简单随机变量也是这样, Y=∑j=1米∑我=1nbj1一个我∩Bj.因此,我们让 一个我=bj在所有 一个我∩Bj=∅那么我们可以看到, X=∑我=1n∑j=1米一个我1一个我∩Bj=∑j=1米∑我=1nbj1一个我∩Bj=Y.现在采取的期望 X和 Y我们有 E{X}=∑我=1n∑j=1米一个我P(一个我∩Bj)=∑j=1米∑我=1nbjP(一个我∩Bj)=E{Y}简单随机变量的期望定义很好。 ■
属性
下面两个定理说明了如何将随机变量平移或缩放为一个常数来改变期望值。一个解释。
为随机变量 X和任意常数 c,
E[X+c]=E[X]+c.
我们有
E[X+c]=x∑(x+c)P(X+c=x+c)=x∑xP(X=x)+x∑cP(X=x)=E[X]+cx∑P(X=x)=E[X]+c⋅1=E[X]+c.□
为随机变量 X和任意常数 c
E[cX]=cE[X].
通过预期的定义
E[cX]=x∑cxP(cX=cx)=cx∑xP(X=x)=cE[X].□
第一个定理表明,将所有变量平移一个常数也将期望值平移相同的常数。这很直观,因为如果所有变量都用常数转换,那么中心值或平均值也应该用常数转换。第二个定理说明了用一个常数来缩放一个随机变量的值 c还可以进行扩展,所述预期值 c.
一个公平的六面骰子每面都标有数字5到10。掷骰子的期望值是多少?
从之前我们知道一个普通的六面骰子的期望值为 E[X]=3..5.这个问题是自找的 E[X+4].
因此,掷模的期望值为 3..5+4=7.5. □
一个公平的六面骰子在每个面上都标有前6个5的正数倍数。掷骰子的期望值是多少?
从前,正规六面骰的期望值为 E[X]=3..5.这个问题是自找的 E[5X].
因此,掷模的期望值为 3..5×5=17.5. □
我们现在说明如何计算随机变量的总和的预期值。
让 X和 Y是随机变量。然后
E[X+Y]=E[X]+E[Y].
掷两个公平的六面骰子。它们滚动次数总和的期望值是多少?
从之前,已知的是一个单一的公平的期望值六面模是 E[X]=3..5.这个问题是自找的 E[X+X].
因此,模辊和的期望值为 3..5+3..5=7. □
线性的期望
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="线性的期望" target="_blank">线性的期望一个>.
上述定理可被组合以证明以下情况:
对于任意随机变量 X1,X2,...,Xk和常量 c1,c2,...,ck,我们有
E[我=1∑kc我X我]=我=1∑kc我E[X我].
这被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="线性的期望" target="_blank">线性的期望一个>,即使随机变量 X我并非独立事件。
一个公平的六面骰子要反复掷出,直到连续掷出三个六。预期的滚动次数是多少?
让 Xn表示需要获得的滚动次数的随机变量 n连续乱七八糟。
为了得到 n连续的六,必须先有 n−1连续乱七八糟。然后,这 nth连续六将出现在下一次与 61概率,或进程将重新开始与下辊 65概率:
E[Xn]=E[61(Xn−1+1)+65(Xn−1+1+Xn)]=E[Xn−1+1+65Xn].
通过期望的线性,
E[Xn]=E[Xn−1]+1+65E[Xn].
解 E[Xn]收益率
E[Xn]=6E[Xn−1]+6.
可以发现, E[X1]=6,所以 E[X2]=6×6+6=42, 和 E[X3.]=6×42+6=258.
在连续掷出三个六之前,期望掷出的次数是 258. □
连续随机变量
随机变量有两种类型,离散型和连续型。上面的模辊例子是一个离散随机变量的例子,因为这个变量可以取有限数量的离散值。从区间中随机选择一个实数 [0,1]将是一个连续随机变量的一个例子。
给定一个连续的随机变量 X和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-probability-density/" class="wiki_link" title="概率密度函数" target="_blank">概率密度函数一个> f(x)的期望值 X被定义为
E[X]=∫xxf(x)dx.
给出概率密度函数 f(x)=3.x2在区间上定义 [0,1]是什么 E[X]?
根据上述定义,
E[X]=∫013.x3.dx=43.x4∣∣∣∣01=43..□
条件期望
让 X和 Y是离散随机变量。然后是期望值 X考虑到事件 Y=y表示为 E[X∣Y=y], 是
E[X∣Y=y]=x∑xP(X=x∣Y=y).
什么是“头”的预期翻转的数目在5翻转一个公平的硬币考虑到的“头”翻转数大于2?
在这个例子中, X是“正面”翻转的数目在5翻转硬币,并 Y=y表示事件 X>2.
回想一下<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/conditional-probability-distribution/" class="wiki_link" title="条件概率" target="_blank">条件概率一个>: P(X=x∣Y=y)=P(Y=y)P(X=x∩Y=y).
因此,期望的和是
E[X∣Y]=3.(P(X>2)P(X=3.))+4(P(X>2)P(X=4))+5(P(X>2)P(X=5)).
这些概率可以通过计算<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布一个>:
P(X=3.)P(X=4)P(X=5)⇒P(X>2)=(3.5)(21)5=165=(45)(21)5=3.25=(55)(21)5=3.21=P(X=3.)+P(X=4)+P(X=5)=21.
用这些值,
E[X∣Y]=3.(2)(165)+4(2)(3.25)+5(2)(3.21)=1655.
抛掷两次以上正面的期望次数是 1655=3..43.75.□
让 X为连续随机变量,设 f(x)是它的密度函数。让 Y=y成为一个事件,让 χ的范围 X鉴于 Y=y.然后是期望值 X考虑到事件 Y=y表示为 E[X∣Y=y], 是
E[X∣Y=y]=P(Y=y)∫x∈χxf(x)dx.
让 X与密度函数的连续随机变量 f(x)=2x,0<x<1.
是什么 E[X∣X<21]?
在这个例子中,条件 X<21应用在随机变量上 X.在此条件下 X是 0<x<21.
的概率 P(X<21)可以用相同的边界计算:
P(X<21)=∫0212xdx=x2∣01/2=41.
然后是期望值 X鉴于 X<21用上面的公式计算。
E[X∣X<21]=P(X<21)∫01/22x2dx=413.2x3.∣01/2=41121−0=3.1.
的期望值 X鉴于 X<21是 3.1. □
额外的工作的例子
有2个袋,和球编号为1至5被放置在每个袋中。从每个袋,1个球被删除。什么是总两个球的期望值?
考虑下面的表,其中列出了第一行中的第一球的可能值,并且所述第二球的在第一列中的可能值。在表中的每个条目都通过找到这两个值的总和所得之值:
123.45123.45623.45673.456784567895678910
让 X是随机变量表示这些值的总和。然后,我们可以看到的概率分布 X是由下表列出:
xP(X=x)22513.2524253.5254625572548253.925210251
这样,我们就可以计算
E[X]=2×251+3.×252+4×253.+5×254+6×255+7×254+8×253.+9×252+10×251=6.□
注意:我们如何利用期望的线性来快速得到结果?
n掷六面骰子。期望的次数是多少 5滚吗?
要确定滚动5次的预期次数,可以定义 Y是a的次数的随机变量 5轧制,并 Y我作为骰子的随机变量 我滚一个 5.很容易看到 E(Y我)=61×1+65×0=61.我们有 Y=我=1∑nY我,通过期望的线性关系, E(Y)=我=1∑nE(Y我).因此, E(Y)=6n. □
注意:我们也可以通过注意得到每个数字的概率是相等的来回答这个问题,我们得到每个数字的期望次数是相同的,这些期望的总和是 n,所以每个数字的期望是 6n.
数学上来说,让 Z我表示次数的随机变量 我是由 n抛出。通过对称性,我们知道 E[Z我]是一个常数。因为总共有 n结果, n=Z1+Z2+Z3.+Z4+Z5+Z6.这给了我们
n=E[Z1+Z2+Z3.+Z4+Z5+Z6]=E[Z1]+E[Z2]+E[Z3.]+E[Z4]+E[Z5]+E[Z6]=6E[Z我].
考虑一个有正面概率的硬币的独立抛掷序列的伯努利过程 p.让 X我是一个随机变量 X我=1如果 我th翻盖头和 X我=0如果 我th翻盖尾巴。让 Y是指示试验的次数,直到头的硬币翻转序列中的第一触发器的随机变量。什么是预期的价值 Y?
在第一次正面出现之前,抛掷硬币次数的可能值是 1,2,3.,...,这些是随机变量的可能值 Y.为 我=1,2,3.,...,即 Y=我概率是第一个吗 我−1轨迹是尾巴和试验 我是正面的。这给出了分布 p(Y=我)=(1−p)我−1p,它是一个几何分布的随机变量。然后
E[Y]=我=1∑∞我(1−p)我−1p=p(1+2(1−p)+3.(1−p)2+4(1−p)3.+⋯).
现在 ∣x∣<1,我们有
1+x+x2+x3.+⋯=1−x1
对它求导
1+2x+3.x2+⋯=(1−x)21.
然后
E[Y]=p(1+2(1−p)+3.(1−p)2+4(1−p)3.+⋯)=(1−(1−p))2p=p2p=p1.□
掷骰子实验的期望值
掷骰子实验可以从集合中得到一个结果 {1,2,3.,4,5,6}.因此随机变量 X(掷骰子的结果)可以有 6值如下:
x1=1,x2=2,x3.=3.,x4=4,x5=5,x6=6.
为了得到一个公平的骰子, P(x1)=P(x2)=P(x3.)=P(x4)=P(x5)=P(x6)=61,暗示
E(X)=x1P(x1)+x2P(x2)+x3.P(x3.)+x4P(x4)+x5P(x5)+x6P(x6)=61×(1+2+3.+4+5+6)=3..5.□
注意:观察变量的期望值 X不需要是其中的价值 X通过本实施例中所示。
抛掷均匀硬币直到得到正面次数的期望值
让
X活动=抛硬币直到得到正面的次数={H,TH,TTH,TTTH,TTTTH,...}.
然后
XP(X)={1,2,3.,4,5,...}={21,41,81,161,3.21,...}.
然后我们有 E(X)=1×21+2×41+3.×81+4×161+5×3.21+⋯.(1)
两边同时除以 2给了 21E(X)=41+2×81+3.×161+4×3.21+5×641+⋯.(2)采取 (1)−(2),我们有
21E(X)⇒E(X)=21+41+81+161+3.21+641+⋯=1−2121=1=2.□
解决问题
−$10 $0 +$10 +$∞拉斯维加斯赌场Magnicifecto很难把酒店客人吸引到赌场。赌场空无一人促使管理层采取严厉措施,他们决定放弃减持。他们决定提供一个“均价”游戏——无论玩家下注的大小 (说 $一个),他有50%的机会得到 +$一个他有50%的机会得到 −$一个.他们认为,因为每款游戏的预期价值都是0,所以从长远来看,他们不应该赚钱或赔钱。
正在度假的斯克罗吉决定利用这个均价游戏。他有无限的资金(钱),并决定以以下方式打第一轮(整个系列赛):
- 他先打了个赌
$10.
如果他赢了,他会留下钱离开。 每次他输了,他就会加倍他之前的赌注,然后再玩。
现在,斯克鲁奇从第一轮(当他离开时结束)中预期的(总)奖金是多少?
“一轮”指的是上述游戏的整个系列。这个问题涉及到整个回合。这组问题有4轮。
这个问题是Go Big Or Go Home的一部分,它探索了期望值的线性。
图片来源:维基百科
引用:期望值。Brilliant.org.检索从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/">//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/一个>硕士概念如此
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- 他先打了个赌
$10.