离散随机变量-定义
一个随机变量是一个变量,取多个不同值中的一个,每个值都有一定的概率出现。当有一个有限(或<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cardinality/" class="wiki_link" title="可数名词" target="_blank">可数名词)的个数,则随机变量为离散.随机变量与“规则变量”的对比<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/variables/" class="wiki_link" title="变量" target="_blank">变量,它们有一个固定的(尽管通常是未知的)值。
例如,标准骰子的一次滚动可以用随机变量来建模
每个案例都有概率发生 .
随机变量在一些领域很重要<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/statistics/" class="wiki_link" title="统计数据" target="_blank">统计数据;事实上,标准<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/probability-distribution/?wiki_title=probability distributions" class="wiki_link new" title="概率分布" target="_blank" rel="nofollow">概率分布可以看作是随机变量。他们还模拟涉及的情况<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bayes-theorem/" class="wiki_link" title="条件概率" target="_blank">条件概率以及涉及的问题<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="期望的线性" target="_blank">期望的线性.
正式的定义
一个概率空间由
- 一个样本空间 ,所有可能结果的集合,
- 一套事件 ,其中每个事件为a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-subsets/" class="wiki_link" title="子集" target="_blank">子集的 而且
- 一个函数 ,它为每个事件分配一个概率。
例如,考虑抛一枚均匀的硬币。样本空间就是集合 ,可能事件为 .这里的空集合指的是既不出现正面也不出现反面,而集合 指出现一个正面或反面。这个函数 因此定义为
一组 的选定子集组成 代表实验的相关事件。例如,如果实验包括滚动一个六面骰子 一个人可以 的所有子集的集合 .然后 可以被描述为“掷出奇数”的事件。如果实验产生了结果 ,则每个事件 与 据说已经发生了。例如,如果掷一个六面骰子,并编号 已经发生的一些事件的结果是什么 (“ 滚”), (“一个小于 卷”),和 (“掷出偶数”)。
一般来说, 的所有可能的子集 .限制 是
- 如果 ,然后
- 如果 的子集的可数族吗 与 为每一个 ,然后 .
这个函数 必须满足 并且是必须的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure/" class="wiki_link" title="可数的添加剂" target="_blank">可数的添加剂,即对于任意可数的成对不相交集的集合
这样,概率空间 变成了一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-theory/" class="wiki_link" title="测度空间" target="_blank">测度空间与测量 以及所有可测量集合的集合 .
对概率空间的要求反映了概率的基本规律。例如,如果 然后 而且 不相交集与 .自 是可数相加的, 哪个是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/probability-by-complement/" class="wiki_link" title="补充规则" target="_blank">补充规则的概率。
一个随机变量 正式定义为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-theory/" class="wiki_link" title="可测函数" target="_blank">可测函数从样本空间 到另一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/measure-theory/" class="wiki_link" title="可测量的空间" target="_blank">可测量的空间 .要求是 是否可测意味着每个可测集合的逆像 在 是一个事件。
通常, 函数是否取值 它描述了概率空间中结果的一些性质。例如,一个随机变量 这表示在一次硬币投掷中正面的次数
注意随机变量 不返回概率本身;更确切地说,是概率空间本身分配了概率。当考虑多次抛硬币时,这一点可能更加明显;例如,描述连续3次抛硬币的概率空间有8种可能的结果,恰好有两个正面被抛的概率就是事件发生的概率 发生了:
如果 是一个变量,表示抛掷正面的次数,
一个离散随机变量是一个随机变量,它只取有限个或可数无穷个不同的值。
然而,这并不意味着样本空间必须有最多可数无穷多个结果。例如,如果一个点 是在区间内均匀随机选择的吗 ,考虑随机变量 它的值是 如果 而且 否则。尽管样本空间就是区间 变量是无限且不可数的吗 是离散的,因为它只取有限个(即2个)值。